1. Прямая y= -9x-31+a, определённая на x∈[-∞; -4] ∪ [1; +∞), может пересекаться с осью абсцисс только в одной точке. Определим абсциссу этой точки
-9x-31+a=0 ⇔ -9x= 31-a ⇔ x = (a-31)/9
По виду функции
x = (a-31)/9≤-4 или x = (a-31)/9≥1
Отсюда а ≤ 5 или а ≥ 40: а ∈[-∞; 5] ∪ [40; +∞).
2. Парабола y= -3·x²-18·x -19+a, определённая на x∈(-4 ;1 ), может пересекаться с осью абсцисс
а) в одной точке, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен 0. Тогда абсциссу этой точки
x= -18/(2·(-3)=3.
Но x=3∉(-4 ;1 ), что означает такой случай невозможен.
б) в двух точках, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения больше 0.
D= (-18)² - 4·(-3)·(-19+a)>0
324 + 12·(a-19)>0
27+a-19>0
a> - 8
Тогда абсциссы таких точек имеют вид
Значит, если a> - 8 и a<568 и a<28 имеет место пересечение в двух точках. Отсюда а∈(-8; 28).
По условию функция должна пересекаться с осью абсцисс не менее 3 точках. Поэтому рассмотрим пересечение множества [-∞; 5] ∪ [40; +∞) для прямой и множества (-8; 28) для параболы:
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
a∈(-8; 5]
Объяснение:
f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+|1,5·x²+4,5·x -6|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+ 1,5·|x² +3·x -4|+a
Рассмотрим выражение под знаком модуля:
x² +3·x -4=0
D=3² - 4·1·(-4)= 9+16=25=5²
x₁=(-3-5)/2= -4
x₂=(-3+5)/2=1
Тогда M=x² +3·x -4=(x - 1)·(x + 4) и определим интервалы знако-постоянства:
M: -·-=+ 0 -·+=- 0 +·+=+
-∞ --------[-100]---------[-4]--------[0]-----------[1]----------------[100]------------>+∞
1) Рассмотрим интервал (-∞; -4): (x - 1)·(x + 4)>0
f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·(x² +3·x -4)+a=
= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·x² +4,5·x -6+a= -9·x -31 +a
2) Рассмотрим интервал (-4; 1): (x - 1)·(x + 4)<0
f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25-1,5·(x² +3·x -4)+a=
= -1,5·x²-13,5·x-25-1,5·x² -4,5·x +6+a= -3·x²-18·x -19 +a
3) Рассмотрим интервал (1; +∞): (x - 1)·(x + 4)>0
f(x)= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·|x² +3·x -4|+a= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·(x² +3·x -4)+a=
= -1,5·x²-13,5·x-25+1,5·x² +4,5·x -6+a= -9·x -31 +a
Заданная функция имеет вид:
1. Прямая y= -9x-31+a, определённая на x∈[-∞; -4] ∪ [1; +∞), может пересекаться с осью абсцисс только в одной точке. Определим абсциссу этой точки
-9x-31+a=0 ⇔ -9x= 31-a ⇔ x = (a-31)/9
По виду функции
x = (a-31)/9≤-4 или x = (a-31)/9≥1
Отсюда а ≤ 5 или а ≥ 40: а ∈[-∞; 5] ∪ [40; +∞).
2. Парабола y= -3·x²-18·x -19+a, определённая на x∈(-4 ;1 ), может пересекаться с осью абсцисс
а) в одной точке, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения равен 0. Тогда абсциссу этой точки
x= -18/(2·(-3)=3.
Но x=3∉(-4 ;1 ), что означает такой случай невозможен.
б) в двух точках, то есть когда дискриминант соответствующего квадратного уравнения больше 0.
D= (-18)² - 4·(-3)·(-19+a)>0
324 + 12·(a-19)>0
27+a-19>0
a> - 8
Тогда абсциссы таких точек имеют вид
Значит, если a> - 8 и a<568 и a<28 имеет место пересечение в двух точках. Отсюда а∈(-8; 28).
По условию функция должна пересекаться с осью абсцисс не менее 3 точках. Поэтому рассмотрим пересечение множества [-∞; 5] ∪ [40; +∞) для прямой и множества (-8; 28) для параболы:
([-∞; 5] ∪ [40; +∞)) ∩ (-8; 28) = (-8; 5]