Verified answer

Ответ:

ВР = 9 ед.

Объяснение:

Биссектриса внешнего угла треугольника перпендикулярна биссектрисе смежного с ним внутреннего угла (свойство).

Проведем прямую  АF параллельно биссектрисе ВР. =>

∆ABF - равнобедренный, так как ∠FAB = ∠РВА как внутренние накрест лежащие при параллельных ВР и FA и секущей АВ,

а ∠ВFA = ∠КВР как соответственные при параллельных ВР и FA и секущей KF.   => BF = BA = √21.

По Теореме Фалеса (FA || BP) имеем:

BF/FC = PA/АC = 1/2.  => РА = АС/2.

Биссектриса BG треугольника АВС делит противоположную сторону АС пропорционально прилегающим сторонам, то есть

AG/GC = BA/BC = 1/3. =>

AG = AC/4.  PA/AG = (АС/2)/(AC/4) = 2. => PA = AC/2.

Итак, AG = AC/4, GC = (3/4)AC и PG = PA+AG = AC/2+AC/4 = 3·AC/4.

FG=AG = AC/4. (из ∆AFG).

Из треугольника FCG с углом FGC = 60° по теореме косинусов имеем:

FC² =  FG²+GC² - 2·FG·GC·Cos60  или

84 = (AC/4)² +(3AC/4)² - 2·(AC/4)·(3AC/4)·(1/2)  =>

16·84 = 7AC².  =>

AC = 8√3.  =>  PG = 3·8√3/4 = 6√3.

Из прямоугольного треугольника PBG:

BP = PG·Sin60 = 6√3·√3/2 = 9 ед.