В двух областях есть по 100 рабочих, каждый из которых готов трудиться по 10 часов в сутки на добыче алюминия или никеля. В первой области один рабочий за час добывает 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля. Во второй области для добычи х кг алюминия в день требуется х^2 человеко-часов труда, а для добычи у кг никеля в день требуется у^2 человеко-часов труда.
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Пожалуйста, доступным языком!
Обе области поставляют добытый металл на завод, где для нужд промышленности производится сплав алюминия и никеля, в котором на 1 кг алюминия приходится 1 кг никеля. При этом области договариваются между собой вести добычу металлов так, чтобы завод мог произвести наибольшее количество сплава. Сколько килограммов сплава при таких условиях ежедневно сможет произвести завод? Пожалуйста, доступным языком!
More Questions From This User See All
Answers & Comments
Verified answer
В обеих областях по 100 рабочих готовых трудиться по 10 ч в сутки - всего 100 · 10 = 1000 "человеко-часов" в сутки!
1-я область: 1 рабочий за 1 час - 0,3 кг алюминия или 0,1 кг никеля, то есть 100 рабочих за 10 часов произведут 300 кг алюминия, или 100 кг никеля. Заметим, что в 1-й области выгоднее производить алюминий.
Допустим y человеко-часов затрачено на производство алюминия, тогда (1000 - y) человеко-часов будет затрачено на производство никеля и всего будет произведено 0,3y алюминия и 0,1·(1000 - y) кг никеля. Общая масса произведенных металлов 100 - 0,1y + 0,3y = (100 + 0,2y) кг
2-я область: Все равно что производить, так как с одного и того же количества человеко-часов будет произведено одно и то же количество как алюминия, так и никеля. Если будет затрачено x² человеко-часов, то будет произведено x кг алюминия, а никеля будет произведено √(1000 - x²) кг
Общая масса произведенных металлов: x + √(1000 - x²) кг
Итого:
Масса произведенного сплава:
f(x,y) = 100 + 0,2y + x + √(1000 - x²) (*)
Всего алюминия будет произведено:
0,3y + x кг
Всего никеля:
0,1·(1000 - y) + √(1000 - x²) = 100 - 0,1y + √(1000 - x²) кг
Для соблюдения пропорции, необходимой для производства сплава, масса алюминия должна быть равна массе никеля, то есть:
0,3y + x = 100 - 0,1y + √(1000 - x²)
0,4y = 100 - x + √(1000 - x²)
0,2y = 50 - 0,5x + 0,5√(1000 - x²) (**)
Подставляя в f(x,y) выражение для 0,2y через x (**) получаем:
f(x) = 100 + 50 - 0,5x + 0,5√(1000 - x²) + x + √(1000 - x²) = 150 + 0,5x + 1,5√(1000 - x²)
Отыщем наибольшее значение f(x) при x∈[0; 10√10]
Умножаем обе части на 2:
После недолгих преобразований получаем:
√(1000 - x²) = 3x
1000 - x² = 9x²
10x² = 1000
x² = 100
x = 10 кг - единственный экстремум (максимум) на указанном промежутке, а значит в нем функция принимает наибольшее значение.
Найдем y (подставляем в (**)):
0,2y = 50 - 0,5 · 10 + 0,5 · 30 = 50 - 5 + 15 = 60 ⇒ y = 300 человеко-часов;
Воспользуемся (*):
f(x, y) = 100 + 0,2 · 300 + 10 + 30 = 100 + 60 + 40 = 200 кг
Таким образом 200 кг сплава сможет производить завод.