В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. ...

November 2021 1 18 Report

В прямоугольном треугольнике АВС из вершины С прямого угла проведена высота СК. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники АВС, АСК и ВСК, равны соответственно г, г1 и г2. Найдите длину высоты СК.

Answers & Comments

Матов

Verified answer

Положим что $ABC=a$
$><br />Тогда из соответственных прямоугольных треугольников, получим <br /><img src=$
$y=\frac{KB}{cosa}\\ 
 x=\frac{AK}{sina}$
$AK=x*sina \\
KB=y*cosa$
откуда
$AK=z*tga\\ 
KB=z*ctga 
$
По формуле $r=\frac{x+y-c}{2}$ где $c$ гипотенуза , из соответствующих прямоугольных треугольников
$z+z*tga-\frac{z}{cosa}=2r_{1}\\
z+z*ctga-\frac{z}{sina}=2r_{2}\\ 
\frac{z}{sina}+\frac{z}{cosa} - \sqrt{\frac{z^2}{sin^2a}+\frac{z^2}{cos^2a}}=2r \\\\
 
$
Откуда
$z=\frac{2r_{1}}{tga-seca+1}\\ 
z=\frac{2r_{2}}{ctga-csca+1}\\ 
z=r(sina+cosa+1)\\\\ 
$
$z=r(sin(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}})+cos(arctg(\frac{r_{1}}{r_{2}}))+1) \\\\ CK=r(\frac{\frac{ r_{1}+r_{2}}{r_{2}}}{ \sqrt{\frac{r_{1}^2}{r_{2}^2}+1}}+1 })\\ 
$

Answers & Comments

Verified answer

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social