В треугольник вписана окружность радиуса 12. Одна из его сторон делится точкой касания на отрезки 18 и 24. Найти площадь треугольника

Объяснение:

ΔАВС,  К,М, Р-точки касания сторон соответственно АВ, ВС, АС. Пусть АК=18, КВ=24.

По свойству отрезков касательных ВМ=24, АР=18.

Пусть СР=СМ=х, тогда

АВ=42  ,  ВС=24+х  ,  АС=18+х.

Выразим площадь по формуле Герона и по формуле S=1/2 Р*r.

1)По формуле Герона:  S=√[p•(p-a)(p-b)(p-c)]  ,

p=(a+b+c):2=(42+18+х+24+х):2=42+х.

S=√(( 42+х)*х*18*24)=√(144*3х*(42+х) )

2) S=1/2(2*(42+х) *12=12(42+х).

Приравниваем площади :

√(144*3х*(42+х) )=12(42+х),

144*3х*(42+х) =144(42+х)²

3х*(42+х)-(42+х)²=0 ,

(42+х)(3х-42-х)=0,

(42+х)(2х-42)=0 ⇒х= -42 не подходит по смыслу задачи , х=21

Подставляем х=21 в любую формулу

При х=21 имеем : S=12(42+х)=12(42+21)=756

Ответ. 756 ед²