Без потери общности, пусть P лежит между M и N, если углы>45, тогда углы CMB и CNA так же >45 (по свойству внешнего угла в треугольнике). Проведем высоту CP' и пусть CN>CM, возьмем точку N' симметричную относительно высоты CP' точке N, тогда CN=CN' из условия следует что требуется доказать то что  

CN+CM>CP

CP+CN>CM

CP+CM>CN

Так как  угол CN'B>45 (по тому же принципу), и CP' высота (минимальный CP среди всех) то угол  P'CN' <45 , значит CP'>P'N'  , пусть так же E (образ точки P) - такая точка что лежит между P' и M , пусть образ E это C(P) , получаем из того что C(P)=CE<CM<CN'  очевидно получаем  

CE<CM+CN'=CM+CN  

CM<CE+CN'=CE+CN  

То есть первые два неравенства выше.

Докажем что

CE+CM>CN

так как CE>EN' (следствие того что  угол P'CN'<45)

CE+CM>EN'+CM>MN'+CM>CN'=CN  

то есть MN+CM>CN  

аналогично если E лежит на между N и P'.