Треугольники AMN и ABC подобные с коэффициентом |cos A|. Возможны два случая:

1) AM = AB cos A, AN = AC cos A, если угол A острый, то есть точки M, N лежат внутри сторон AC, AB;

2) AM = AB cos (180° − A) = −AB cos A, AN = AC cos (180° − A) = −AC cos A (косинус отрицательный), если угол A тупой, то есть точки M, N лежат на продолжениях сторон AC, AB;

в первом случае угол A у треугольников общий, во втором — углы при вершине A вертикальные.

Следовательно,

|cos A| = MN/BC = ½,
∠A = 60° или 120°.

Лучи BO и CO являются биссектрисами внешних углов треугольника ABC, поэтому

∠BOC = 180° − (∠OBC + ∠OCB) = 180° − ½(180° − ∠ABC + 180° − ∠ACB) =
= ½(∠ABC + ∠ACB) = ½(180° − ∠A) = 90° − ½∠A.

R(BOC) = BC/(2 sin BOC) = BC/(2 sin (90° − ½A)) = BC/(2 cos ½A).

Если ∠A = 60°, то R(BOC) = 12/(2 cos 30°) = 4√3.

Если ∠A = 120°, то R(BOC) = 12/(2 cos 60°) = 12.