Немного другая задача :). Внутри УГЛА c вершиной в точке A выбрана точка M, надо построить отрезок с концами на сторонах УГЛА, так, чтобы точка M была бы его серединой. Отличие этой задачи в том, что 1) концы отрезка могут быть на ПРОДОЛЖЕНИИ сторон 2) у треугольника ТРИ угла. Я отвечаю на поставленный вопрос. То есть описываю процесс построения. Все действия легко осуществляются с помощью циркуля и линейки. 1) проводится биссектриса угла. 2) из точки M проводится перпендикуляр к биссектрисе. Он пересекает стороны угла в точках K и N. 3) из точек K и N проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются НА БИССЕКТРИСЕ угла в точке O (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках K и N) 4) соединяются точки O и M. 5) через точку M проводится прямая, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ отрезку OM, пересекающая стороны угла в точках P и Q. PQ и есть нужный отрезок, точка M является его серединой.
Доказывается это так. ∠PKO = ∠PMO = 90°; поэтому точки K и M лежат на окружности, построенной на PO, как на диаметре. В этой окружности ∠MPO и ∠MKO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. Аналогично, ∠QMO = ∠QNO = 90°; поэтому точки N и M лежат на окружности, построенной на QO, как на диаметре. В этой окружности ∠MQO и ∠MNO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны. Так как треугольник OKN равнобедренный, ∠MKO = ∠MNO; Поэтому ∠MPO = ∠MQO, и треугольник PQO тоже равнобедренный. OM - высота к основанию этого треугольника PQO. То есть, его медиана. ЧТД.
14 votes Thanks 9
cos20093
Для полноты решения следовало бы ещё доказать, что в треугольнике по крайней мере для одного из углов такое построение даст отрезок, у которого концы лежат на сторонах, а не на продолжениях. Однако, пока я набирал решение, в голову пришел опровергающий пример - если точка M лежит ОЧЕНЬ БЛИЗКО к основанию (к примеру) высоты из одного из острых углов, то все три так построенных отрезка будут "вылезать" за границы треугольника.
cos20093
Кстати, "на сторонах, а не на продолжениях" - это все можно по разному трактовать. Я считаю решение полным. МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ЗАДАН, Ну, пусть у треугольника три угла - по этому методу можно построить три отрезка. БОЛЬШЕ-ТО все равно не построить :))) Так что, "нравится-не нравится", ... задача-то решена :) Даже доказательство того, что PM = QM, на самом деле выходит за рамки задачи на построение. Я уж просто "для себя" набрал :)
nastyafirulova
Все, спасибо, спасибо, вы, наверно гений))
Answers & Comments
Verified answer
Немного другая задача :). Внутри УГЛА c вершиной в точке A выбрана точка M, надо построить отрезок с концами на сторонах УГЛА, так, чтобы точка M была бы его серединой.Отличие этой задачи в том, что 1) концы отрезка могут быть на ПРОДОЛЖЕНИИ сторон 2) у треугольника ТРИ угла.
Я отвечаю на поставленный вопрос. То есть описываю процесс построения. Все действия легко осуществляются с помощью циркуля и линейки.
1) проводится биссектриса угла.
2) из точки M проводится перпендикуляр к биссектрисе. Он пересекает стороны угла в точках K и N.
3) из точек K и N проводятся перпендикуляры к сторонам угла, которые пересекаются НА БИССЕКТРИСЕ угла в точке O (это центр окружности, которая касается сторон угла в точках K и N)
4) соединяются точки O и M.
5) через точку M проводится прямая, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНАЯ отрезку OM, пересекающая стороны угла в точках P и Q.
PQ и есть нужный отрезок, точка M является его серединой.
Доказывается это так.
∠PKO = ∠PMO = 90°;
поэтому точки K и M лежат на окружности, построенной на PO, как на диаметре.
В этой окружности ∠MPO и ∠MKO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны.
Аналогично,
∠QMO = ∠QNO = 90°;
поэтому точки N и M лежат на окружности, построенной на QO, как на диаметре.
В этой окружности ∠MQO и ∠MNO опираются на одну и ту же дугу, то есть равны.
Так как треугольник OKN равнобедренный, ∠MKO = ∠MNO;
Поэтому ∠MPO = ∠MQO, и треугольник PQO тоже равнобедренный.
OM - высота к основанию этого треугольника PQO. То есть, его медиана. ЧТД.