Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотр...

August 2021 1 12 Report

Возрастающая конечная арифметическая прогрессия состоит из различных целых неотрицательных чисел. Математик вычислил разность между квадратом суммы всех членов прогрессии и суммой их квадратов. Затем математик добавил к этой прогрессии следующий её член и снова вычислил такую же разность.А) Приведите пример такой прогрессии, если во второй раз разность оказалась на 48 больше, чем в первый раз.Б) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Могла ли прогрессия сначала состоять из 12 членов?В) Во второй раз разность оказалась на 1440 больше, чем в первый раз. Какое наибольшее количество членов могло быть в прогрессии сначала?

Answers & Comments

ЕленаИсламова а) Подходит пример 1, 2, 3. В этом случае s1=(1+2+3)2−12−22−32=22. Если добавить ещё один член, то получится s2=(1+2+3+4)2−12−22−32−42=70. При этом s2−s1=48.б) Исследуем вопрос в общем виде. Пусть s1=(x1+⋯+xn)2−(x21+⋯+x2n). С добавлением нового члена получается, что s2=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x21+⋯+x2n+x2n+1). Тогда s2−s1=(x1+⋯+xn+xn+1)2−(x1+⋯+xn)2−x2n+1, что с учётом формулы для разности квадратов равно xn+1(2x1+⋯+2xn+x2n+1)−x2n+1=2xn+1(x1+⋯+xn).Применим известные формулы, согласно которым xn+1=x1+nd, где d -- разность арифметической прогрессии, а также x1+⋯+xn=n⋅x1+xn2=nx1+n(n−1)2d.Для числа 1440, с учётом множителя 2 в выведенной выше формуле, получаем уравнение(x1+nd)(nx1+n(n−1)2d)=720.Легко видеть, что n≠12, так как x1≥0, d≥1, и тогда произведение не меньше, чем n⋅n(n−1)2>12⋅12⋅102=720.в) Из предыдущего пункта ясно, что n<12. Значение n=11 не подходит, так как левая часть уравнения делится на 11, а правая не делится. Проверим случай n=10. Здесь после сокращения на 5 получается (x1+10d)(2x1+9d)=144. Понятно, что d=1, что приводит к квадратному уравнению (x1+10)(2x1+9)=144, не имеющему целочисленных решений.Случай n=9 после сокращения на 9 даёт (x1+9d)(x1+4d)=80. Отсутствие целочисленных решений проще всего усмотреть так. Один из сомножителей должен делиться на 5, поскольку 80кратно пяти. Но тогда второй сомножитель тоже делится на 5 ввиду того, что разность кратна пяти. Однако число в правой части не делится на 25, и так быть не может.Для n=8 уравнение после сокращения на 4 принимает вид (x1+8d)(2x1+7d)=180. Здесь уже решение легко найти подбором: подходит d=1, x1=4. Прогрессия 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 из восьми членов удовлетворяет условиям задачи, и это количество членов является наибольшим.

7 votes Thanks 9

Answers & Comments

dva motociklista vyehali so stoyanki odnovremenno v odnom napravlenii pervyj pro

5 dokazhite chto esli dve storony i bissektrisa provedyonnaya iz obshej vershiny et

17 dokazhite chto esli h tochka peresecheniya vysot treugolnika abc a o centr

dokazhite chto vo vsyakom nepryamougolnom treugolnike proizvedenie rasstoyanij ot

ochen vazhnopomogitepyat ekspertov ocenivayut kinofilm kazhdyj iz nih vysta

ab15 dokazhite chto esli trapeciya razdelena pryamoj parallelnoj eyo osnovaniya

na listke bumagi napisan nabor naturalnyh chisel vse chisla raznye i kazhdoe iz

pryamaya a kasaetsya opisannoj okolo treugolnika abc okruzhnosti v tochke a otrezok

8 dokazhite chto bissektrisa ugla a treugolnika abc peresekaet opisannuyu okolo

dokazhite chto esli v trapeciyu mozhno vpisat okruzhnost to bokovaya storona trape

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social