Сделаем замену: . Получим: . Теперь можно сделать другую замену: , . После преобразований выйдет: . Теперь зажмем функцию под пределом между и . Взяв предел от этих частей, получим, что искомый предел равен 0.
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Сделаем замену:
. Получим: ![\lim\limits_{x\to0,\;y\to 0}\frac{\sqrt{(1-x)^2+y^2}-1 }{\sqrt[3]{x^2+y^2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Bx%5Cto0%2C%5C%3By%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B%281-x%29%5E2%2By%5E2%7D-1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Bx%5E2%2By%5E2%7D%20%7D "\lim\limits_{x\to0,\;y\to 0}\frac{\sqrt{(1-x)^2+y^2}-1 }{\sqrt[3]{x^2+y^2} }")
. Теперь можно сделать другую замену: 
, 
. После преобразований выйдет: ![\lim\limits_{r\to 0}\frac{\sqrt{1+r^2-2r\cos\varphi}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }](https://tex.z-dn.net/?f=%5Clim%5Climits_%7Br%5Cto%200%7D%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Br%5E2-2r%5Ccos%5Cvarphi%7D-1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Br%5E2%7D%20%7D "\lim\limits_{r\to 0}\frac{\sqrt{1+r^2-2r\cos\varphi}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }")
. Теперь зажмем функцию под пределом между ![\frac{\sqrt{1+r^2+2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }=\frac{r}{r^{2/3}}=r^{1/3}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Br%5E2%2B2r%7D-1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Br%5E2%7D%20%7D%3D%5Cfrac%7Br%7D%7Br%5E%7B2%2F3%7D%7D%3Dr%5E%7B1%2F3%7D "\frac{\sqrt{1+r^2+2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }=\frac{r}{r^{2/3}}=r^{1/3}")
и ![\frac{\sqrt{1+r^2-2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }= \frac{|r-1|-1}{r^{2/3}}](https://tex.z-dn.net/?f=%5Cfrac%7B%5Csqrt%7B1%2Br%5E2-2r%7D-1%20%7D%7B%5Csqrt%5B3%5D%7Br%5E2%7D%20%7D%3D%20%5Cfrac%7B%7Cr-1%7C-1%7D%7Br%5E%7B2%2F3%7D%7D "\frac{\sqrt{1+r^2-2r}-1 }{\sqrt[3]{r^2} }= \frac{|r-1|-1}{r^{2/3}}")
. Взяв предел от этих частей, получим, что искомый предел равен 0.