Verified answer

Доказать, что:

[tex]\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2[/tex]

Доказательство:

[tex]\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}}[/tex]

Положим, что [tex]s=x+y+z[/tex].

Тогда справедлива запись:

[tex]\sqrt{\dfrac{x}{s-x}}+\sqrt{\dfrac{y}{s-y}}+\sqrt{\dfrac{z}{s-z}}[/tex]

Пусть теперь [tex]a=x/s,\;\;b=y/s,\;\;c=z/s[/tex].

[tex]\sqrt{\dfrac{a}{1-a}}+\sqrt{\dfrac{b}{1-b}}+\sqrt{\dfrac{c}{1-c}}[/tex], где [tex]a+b+c=\dfrac{x+y+z}{s}=1[/tex].

Введем функцию:

[tex]f(t)=\sqrt{\dfrac{t}{1-t}}[/tex]

Можно показать, что она выпукла на интервале [tex](0;\;1)[/tex].

Тогда применим неравенство Йенсена:

[tex]f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{a+b+c}{3}\right)[/tex]

Но [tex]a+b+c=1[/tex], то есть:

[tex]f(a)+f(b)+f(c)\ge3f\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.1[/tex]

Таким образом, была показана верность записи ниже:

[tex]\sqrt{\dfrac{x}{y+z}}+\sqrt{\dfrac{y}{x+z}}+\sqrt{\dfrac{z}{x+y}} > 2[/tex]

Доказано!