Ответ:

Пошаговое объяснение:

Для доведення, що x=y=z, спочатку треба використати тригонометричну формулу:

cos(a + b) = cos(a)cos(b) - sin(a)sin(b)

Застосовуючи цю формулу до x=cos(y+z), отримаємо:

cos(y + z) = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z) ...(1)

Аналогічно, для y і z маємо:

cos(z + x) = cos(z)cos(x) - sin(z)sin(x) ...(2)

cos(x + y) = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y) ...(3)

Ми знаємо, що кожне з чисел x, y і z є косинусом двох інших чисел, тому:

x = cos(y + z) = cos(180 - x) = -cos(x)

y = cos(z + x) = cos(180 - y) = -cos(y)

z = cos(x + y) = cos(180 - z) = -cos(z)

Отже, x, y і z можуть мати лише один з двох можливих значень: x=y=z=0 або x=y=z=±1. Оскільки кожне з x, y і z є косинусом двох інших чисел, що лежать в діапазоні від 0 до 180 градусів, то вони не можуть бути більшими за 1 або меншими за -1. Отже, можливим значенням x, y і z є лише x=y=z=1 або x=y=z=-1.

Залишилося довести, що x=y=z=1 або x=y=z=-1. Підставляючи x=y=z=1 у формули (1), (2) і (3), отримуємо:

1 = cos(y)cos(z) - sin(y)sin(z)

1 = cos(z)cos(x) - sin(z)sin(x)

1 = cos(x)cos(y) - sin(x)sin(y)

Оскільки cos(x), cos(y), і cos(z) дорівнюють 1, то sin(x), sin(y) і sin(z) мають бути рівні 0. Це можливо лише якщо x=y=z=±1. Аналогічно, підставляючи x=y=z=-1, також отримуємо, що x=y=z=-1.

Таким чином, довели, що x=y=z, якщо кожне з чисел x, y і z дорівнює косинусу двох інших чисел.