Verified answer

Ответ:

-3;-1;0;1;2

Пошаговое объяснение:

(n+3)/(n²+1) - целое число

Если ненулевая дробь равна целому числу, то ее знаменатель по модулю не превосходит числитель (случай равенства нулю рассматривается отдельно). Значит, |n+3|≥|n²+1| (*)

n²≥0 для любого n, а тогда n²+1>0 для любого n, откуда |n²+1|=n²+1

1) Пусть n+3<0 <=> n<-3

Тогда (*) равносильно -n-3≥n²+1 <=> n²+n+4≤0 <=> n²+2*n*(1/2)+(1/2)²+3+3/4≤0 <=> (n+(1/2))²+3+3/4≤0. Сумма неотрицательного и положительного выражений положительна - а значит неравенство решений не имеет.

2) Пусть n+3>0 <=> n>-3

Тогда (*) равносильно n+3≥n²+1 <=> n²-n-2≤0 <=> n²-2*n*(1/2)+(1/2)²-2-1/4≤0 <=> (n-(1/2))²≤(3/2)² <=> |n-(1/2)|≤3/2 <=> -1≤n≤2

Все полученные решения входят в рассматриваемую область.

3) Пусть n+3=0 <=> n=-3.

Знаменатель в ноль не обращается, а значит n=-3 - одно из искомых значений.

Остаётся найти на отрезке [-1;2] подходящие значения n.

Целых значений в данном случае всего 4, поэтому рациональнее обойтись перебором [в более сложных случаях придется продолжать анализ, например, используя делимость выражений: если знаменатель делится на какое-то число, а числитель нет, то, очевидно, целым числом дробь быть не может. И т.д.]

n=-1: 2/2=1 - подходит

n=0: 3/1=3 - подходит

n=1: 4/2=2 - подходит

n=2: 5/5=1 - подходит