Verified answer

Verified answer

task/29395667                                                                                                                                -----------------------

Решить уравнение 3sin2x-4cosx +3sinx-2 =0 и  найти все корни этого  уравнения принадлежащие  отрезку  [ π/2 ; 3π/2] . * * * x ∈  [ π/2 ; 3π/2] * * *        -------------------

3sin2x-4cosx +3sinx-2 =0 || sin2x =2sinxcosx || ⇔3sinx(2cosx +1)-2(2cosx+1)=0  ⇔ (2cosx +1)(3sinx -2) =0 ⇔ [ cosx =  -1/2 ; sinx=2/3 .

a) cosx = - 1/2  ⇒ x = ± 2π/3 +2πn , n ∈  ℤ .                                                                        Из этой серии  2π/3  (при n=0)  и 2π -2π/3 = 4π/3  (при n = 1) ∈  [ π/2 ; 3π/2]                                                                                                   * * *Для этого примера удобно определить n общим перебором * * *

б) sinx=2/3  ⇒ x = (-1)ⁿarcsin(2/3) + πn , n ∈  ℤ .                                                  А из этой серии  только π -arcsin(2/3) ∈  [ π/2 ; 3π/2]  (при n=1) .

ответ :  (-1)ⁿarcsin(2/3) + πn  ;  ± 2π/3 +2πn , n ∈  ℤ .

 π - arcsin(2/3) ;  2π/3;  4π/3   ∈  [ π/2 ; 3π/2] .

* * * P.S.   допустим  x₁ = 2π/3 +2πn            π/2  ≤ 2π/3 +2πn ≤ 3π/2   ⇔ π/2 - 2π/3  ≤ 2πn  ≤ 3π/2 - 2π/3 ⇔  -π/6≤ 2πn  ≤ 5π/6 ⇔ -1/12 ≤ n  ≤ π/12⇒ n = 0 , следовательно   x₁ =2π/3

аналогично при x₂ =  - 2π/3 +2πn            π/2  ≤ - 2π/3 +2πn  ≤ 3π/2 ⇔ π/2 + 2π/3  ≤ 2πn  ≤ 3π/2 + 2π/3 ⇔ 7π/6≤ 2πn  ≤13π/6 ⇔ 7/12 ≤ n ≤ 13π/12  ⇒ n = 1 , следовательно   x₂ = 4π/3