1.

Если  3ⁿ ≡ -1(mod10),  то 3ⁿ⁺⁴ ≡ -1(mod10). Доказать.

Решение.

1) По условию выражение 3ⁿ ≡ -1(mod10) верно.

Выражение  3ⁿ ≡ -1(mod10) означает, что при делении числа 3ⁿ на 10 получается остаток (-1),

иначе

чтобы число 3ⁿ разделилось на 10 без остатка, ему не достаёт 1, значит,

число (3ⁿ +1) делится на 10 без остатка по условию.

2) Рассмотрим второе  выражение 3ⁿ⁺⁴ ≡ -1(mod10).

Нужно доказать, что при делении числа 3ⁿ⁺⁴ на 10 получается

остаток (-1).

иначе

Нужно доказать, что число (3ⁿ⁺⁴+1) делится на 10 без остатка.

Преобразуем:

3ⁿ⁺⁴ + 1 = 3ⁿ * 3⁴ + 1 = 3ⁿ*81 + 1 = 3ⁿ * (80+1) + 1 = 3ⁿ*80 + 3ⁿ + 1 =

= 80*3ⁿ + (3ⁿ+1)

Очевидно, что 80·3ⁿ  делится на 10 без остатка, т.к. 80:10=8;

(3ⁿ+1) делится на 10 без остатка по условию

Число (3ⁿ⁺⁴+1) =  80*3ⁿ + (3ⁿ+1)  состоит из двух слагаемых, каждое из которых делится на 10 без остатка, значит, и само число (3ⁿ⁺⁴+1) делится на 10 без остатка . Доказано.

2.

Аналогичное доказываем и второе.

Если  2ⁿ ≡ 1(mod13),  то 2ⁿ⁺¹² ≡ 1(mod13). Доказать.

Решение.

1) По условию выражение 2ⁿ ≡ 1(mod13) верно.

Выражение  2ⁿ ≡ -1(mod13) означает, что при делении числа 2ⁿ на 13 получается остаток 1.

Значит, это число 2ⁿ разделится на 13 без остатка, если отнять остаток, т.е. вычесть 1.

Получаем, что выражение (2ⁿ -1) делится на 13 без остатка по условию.

2) Рассмотрим второе  выражение 2ⁿ⁺¹² ≡ 1(mod13).

С таким же остатком 1, поэтому нужно доказать, что число (2ⁿ⁺¹²-1) делится на 13 без остатка.

Преобразуем:

2ⁿ⁺¹² - 1 = 2ⁿ * 2¹² - 1 = 2ⁿ*4096 - 1 = 2ⁿ * (4095+1) - 1 =

= 2ⁿ*4095 + 2ⁿ - 1 = 4095*3ⁿ + (2ⁿ-1)

Число 4095:13 = 315, значит, первое слагаемое 4095·2ⁿ  делится на 13 без остатка,

второе слагаемое (2ⁿ-1) делится на 13 без остатка по условию,

значит,

число (2ⁿ⁺¹²-1), состоящее из из двух слагаемых, каждое из которых делится на 13 без остатка. Доказано.