Verified answer

Заметим, что натуральное число 1 имеет один делитель (само себя), а также, что любая степень этого числа, в том числе и 5-ая, совпадает с этим числом. Значит, число 1 удовлетворяет условию задачи.

[tex]N=\boxed{1}[/tex]

Пусть некоторое натуральное число N>1 имеет k делителей. Выпишем эти делители в порядке возрастания:

[tex]D(N):\ d_1;\ d_2;\ d_3;\ \ldots;\ d_{k-1};\ d_{k}[/tex]

Если число N является точным квадратом, то оно имеет нечетное число делителей: [tex]k=2m+1[/tex]:

[tex]D(N):\ d_1;\ d_2;\ \ldots;\ d_{m};\ d_{m+1};\ d_{m+2};\ \ldots;\ d_{2m};\ d_{2m+1}[/tex]

Причем:

[tex]d_1d_{2m+1}=d_2d_{2m}=\ldots=d_md_{m+2}=d_{m+1}^2=N[/tex]

При нахождении произведения всех делителей один из делителей (корень из точного квадрата) останется без пары, и итоговое произведение не будет целой степенью числа N.

Таким образом, числа, являющиеся точным квадратом не удовлетворяют условию задачи.

Если число N не является точным квадратом, то оно имеет четное число делителей: [tex]k=2m[/tex]:

[tex]D(N):\ d_1;\ d_2;\ \ldots;\ d_{m};\ d_{m+1};\ \ldots;\ d_{2m-1};\ d_{2m}[/tex]

Причем:

[tex]d_1d_{2m}=d_2d_{2m-1}=\ldots=d_md_{m+1}=N[/tex]

Поскольку все делители разбились на пары, а произведение каждой пары равно N, то произведение всех делителей в этом случае равно [tex]N^m[/tex].

По условию, нас интересует ситуация, когда произведение всех делителей числа равно пятой степени этого числа: [tex]N^5[/tex].

Это означает, что [tex]m=5[/tex], а значит само число должно иметь [tex]k=2m=2\cdot5=10[/tex] делителей.

Вспомним формулу для определения количества делителей некоторого числа. Для числа [tex]N[/tex]:

[tex]N=p_1^{a_1}p_2^{a_2}\ldots p_r^{a_r}[/tex], где [tex]p_i[/tex] - простые числа, количество делителей определяется по формуле:

[tex]d_N=(a_1+1)(a_2+1)\ldots(a_r+1)[/tex]

Как было определено выше, число должно иметь 10 делителей. Число 10 можно разложить на множители двумя способами: [tex]10=10\cdot1=5\cdot2[/tex].

Если рассматривать вариант с разложением [tex]10=10\cdot1[/tex], то:

[tex]a_1+1=10;\ a_2+1=1\Rightarrow a_1=9;\ a_2=0[/tex]

Тогда, число N должно иметь вид:

[tex]N=p_1^9[/tex]

Поскольку наименьшее простое число равно 9, то наименьшее значение [tex]N=2^9=512[/tex], что не удовлетворяет условию задачи от том, что N - число в диапазоне от 1 до 200.

Рассмотрим вариант с разложением [tex]10=5\cdot2[/tex]:

[tex]a_1+1=5;\ a_2+1=2\Rightarrow a_1=4;\ a_2=1[/tex]

Тогда, число N должно иметь вид:

[tex]N=p_1^4\cdot p_2[/tex]

Поскольку четвертая степень сильнее влияет на число, то начнем перебирать простые числа [tex]p_1[/tex] в порядке возрастания.

Если [tex]p_1=2[/tex], то:

[tex]N=2^4\cdot p_2=16p_2[/tex]

Поскольку нас интересуют числа [tex]N\leqslant 200[/tex], то:

[tex]16p_2\leqslant 200[/tex]

[tex]p_2\leqslant 12.5[/tex]

Простые числа, удовлетворяющие полученному неравенству: 2; 3; 5; 7; 11. Заметим, что число [tex]p_2=2[/tex] совпало с рассматриваемым числом [tex]p_1=2[/tex], но по смыслу разложения числа [tex]N=p_1^4\cdot p_2[/tex] на простые множители, значения [tex]p_1[/tex] и [tex]p_2[/tex] должны быть различны.

Поэтому, имеется 4 варианта:

[tex]p_2=3\Rightarrow N=2^4\cdot3=\boxed{48}[/tex]

[tex]p_2=5\Rightarrow N=2^4\cdot5=\boxed{80}[/tex]

[tex]p_2=7\Rightarrow N=2^4\cdot7=\boxed{112}[/tex]

[tex]p_2=11\Rightarrow N=2^4\cdot11=\boxed{176}[/tex]

Если [tex]p_1=3[/tex], то:

[tex]N=3^4\cdot p_2=81p_2[/tex]

Вновь учтем условие [tex]N\leqslant 200[/tex]:

[tex]81p_2\leqslant 200[/tex]

[tex]p_2\leqslant \dfrac{200}{81}[/tex]

Единственное простое число, удовлетворяющее этому неравенству - это число 2.

Тогда, получим один новый вариант:

[tex]p_2=2\Rightarrow N=3^4\cdot2=\boxed{162}[/tex]

Если [tex]p_1\geqslant 5[/tex], то:

[tex]N\geqslant 5^4\cdot p_2=625p_2[/tex]

При любых простых числах [tex]p_2[/tex], число [tex]N[/tex] будет больше 200. Поэтому, эти случаи не дают решений.

Таким образом, всего есть 6 чисел, удовлетворяющих условию задачи: 1; 48; 80; 112; 162; 176.

Ответ: 6 чисел