Докажем, что [tex]x^5=O(x^2)[/tex] при [tex]x\to 0.[/tex]
В этом задании обе функции являются бесконечно малыми при x → 0, то есть обе стремятся к нулю, когда x стремится к нулю. При этом x² не равен нулю при x ≠ 0.
Говорят, что [tex]f(x) =o(g(x))[/tex] при [tex]x\to a,[/tex] если в некоторой проколотой окрестности точки a
f(x)=g(x)·h(x),
где h(x) является бесконечно малой при [tex]x\to a.[/tex] Если g(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки a (то есть в самой точке a она может равняться нулю - нас это не интересует), то это определение можно переформулировать так:
[tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] является бесконечно малой при x → a, то есть [tex]\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0;[/tex] то есть
для любого положительного C можно подобрать такое положительное число [tex]\delta,[/tex] что если мы будем отходить от a меньше чем на [tex]\delta,[/tex] то эта дробь будет отстоять от a меньше чем на C; то есть для любого C>0 существует [tex]\delta > 0,[/tex] такое, что если [tex]0 < |x-a| < \delta,[/tex] то [tex]\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C[/tex] (последнее неравенство можно переписать как |f(x)|<C|g(x)| ). Конечно, когда мы меняем C, [tex]\delta[/tex] тоже может меняться.
Говорят, что [tex]f(x)=O(g(x))[/tex] при [tex]x\to a,[/tex] если в некоторой проколотой окрестности точки a
f(x)=g(x)·h(x),
где h(x) - ограниченная в этой окрестности функция (то есть для неё существует C>0 такая, что |h(x)|<C в этой окрестности); иными словами существует C>0 и существует [tex]\delta > 0[/tex] такие, что если x принадлежит проколотой [tex]\delta-[/tex]окрестности точки a (то есть [tex]0 < |x-a| < \delta[/tex] ), то
|f(x)|<C·|g(x)|
(если g(x) не равен нулю в некоторой проколотой окрестности точки a, то последнее неравенство можно переписать в виде
[tex]\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C[/tex];
конечно при желании строгое неравенство можно заменить на нестрогое).
Мы видим, что определения o-малого и O-большого отличаются только тем, что в первом случае дельта можно найти для любого C (меняем C, меняется дельта), а во втором случае - дельта можно подобрать хотя бы для одного C (конечно, если мы найдем дельта для одного C, его же можно использовать и для б'ольших значений C, но если мы начнем C уменьшать, тут уже дельта может и не существовать). Естественно, поэтому
если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).
Переходим к решению задачи. Поскольку
[tex]\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^5}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}x^3=0,[/tex] то [tex]x^5=o(x^2)[/tex] при x→ 0, а тогда [tex]x^5=O(x^2).[/tex]
Замечание. Если нужны конкретные C и [tex]\delta,[/tex] можно взять C=1 и [tex]\delta =1:[/tex] если [tex]|x| < 1,[/tex] то [tex]\left|\frac{x^5}{x^2}\right|=|x^3| < 1.[/tex]
2 votes Thanks 2
person4884
Здравствуйте. Можете, пожалуйста, помочь мне решить триг.уравнение
masha01021
здравствуйте, если будет время помогите пожалуйста
Answers & Comments
Ответ:
Объяснение:
Докажем, что [tex]x^5=O(x^2)[/tex] при [tex]x\to 0.[/tex]
В этом задании обе функции являются бесконечно малыми при x → 0, то есть обе стремятся к нулю, когда x стремится к нулю. При этом x² не равен нулю при x ≠ 0.
Говорят, что [tex]f(x) =o(g(x))[/tex] при [tex]x\to a,[/tex] если в некоторой проколотой окрестности точки a
f(x)=g(x)·h(x),
где h(x) является бесконечно малой при [tex]x\to a.[/tex] Если g(x) не обращается в ноль в некоторой проколотой окрестности точки a (то есть в самой точке a она может равняться нулю - нас это не интересует), то это определение можно переформулировать так:
[tex]\frac{f(x)}{g(x)}[/tex] является бесконечно малой при x → a, то есть [tex]\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}=0;[/tex] то есть
для любого положительного C можно подобрать такое положительное число [tex]\delta,[/tex] что если мы будем отходить от a меньше чем на [tex]\delta,[/tex] то эта дробь будет отстоять от a меньше чем на C; то есть для любого C>0 существует [tex]\delta > 0,[/tex] такое, что если [tex]0 < |x-a| < \delta,[/tex] то [tex]\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C[/tex] (последнее неравенство можно переписать как |f(x)|<C|g(x)| ). Конечно, когда мы меняем C, [tex]\delta[/tex] тоже может меняться.
Говорят, что [tex]f(x)=O(g(x))[/tex] при [tex]x\to a,[/tex] если в некоторой проколотой окрестности точки a
f(x)=g(x)·h(x),
где h(x) - ограниченная в этой окрестности функция (то есть для неё существует C>0 такая, что |h(x)|<C в этой окрестности); иными словами существует C>0 и существует [tex]\delta > 0[/tex] такие, что если x принадлежит проколотой [tex]\delta-[/tex]окрестности точки a (то есть [tex]0 < |x-a| < \delta[/tex] ), то
|f(x)|<C·|g(x)|
(если g(x) не равен нулю в некоторой проколотой окрестности точки a, то последнее неравенство можно переписать в виде
[tex]\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right| < C[/tex];
конечно при желании строгое неравенство можно заменить на нестрогое).
Мы видим, что определения o-малого и O-большого отличаются только тем, что в первом случае дельта можно найти для любого C (меняем C, меняется дельта), а во втором случае - дельта можно подобрать хотя бы для одного C (конечно, если мы найдем дельта для одного C, его же можно использовать и для б'ольших значений C, но если мы начнем C уменьшать, тут уже дельта может и не существовать). Естественно, поэтому
если f(x)=o(g(x)), то f(x)=O(g(x)).
Переходим к решению задачи. Поскольку
[tex]\lim\limits_{x\to 0} \dfrac{x^5}{x^2}=\lim\limits_{x\to 0}x^3=0,[/tex] то [tex]x^5=o(x^2)[/tex] при x→ 0, а тогда [tex]x^5=O(x^2).[/tex]
Замечание. Если нужны конкретные C и [tex]\delta,[/tex] можно взять C=1 и [tex]\delta =1:[/tex] если [tex]|x| < 1,[/tex] то [tex]\left|\frac{x^5}{x^2}\right|=|x^3| < 1.[/tex]