Відповідь:

Искомое число 836.

Покрокове пояснення:

Наибольшее из существующих трехзначных чисел - это 999. Нам необходимо найти искомое, наибольшее число из диапазона 100 - 999.

Упростим задачу и уменьшим диапазон поиска.

Найдем наименьшее общее кратное для чисел 5, 6 и 7:

НОК = 5 × 6 × 7 = 210

Теперь нам необходимо найти искомое, наибольшее число из диапазона 1 - 210, а потом увеличивать его на 210 до тех пор пока число будет оставаться трехзначным.

1) Начнем с деления на число "5". Любое целое число делится на число "5" без остатка, если оно заканчивается либо цифрой "0", либо цифрой "5". Для получения в остатке числа "1", необходимо, чтобы делимое заканчивалось либо цифрой 0 + 1 = 1, либо цифрой 5 + 1 = 6.

2) Проанализируем деление на число "6". Число "6" - четное, следовательно при умножении его на любое целое число ( как четное, так и нечетное ) в результате мы получим четное число. Число "2" - также четное и при прибавлении к четному числу мы также получим четное число. Таким образом искомое число заканчивается цифрой "6", а соответствующее ему число, которое делится на число "6" без остатка ( меньше искомого на две единицы ) заканчивается цифрой 6 - 2 = 4. Это последовательность чисел: ( 6 × 4 ) + 30 × n. Это числа: 24, 54, 84, 114, 154, 184, 204. Следующее число 234, а оно больше 210.

3) Искомое число заканчивается цифрой "6", а соответствующее ему число, которое делится на число "7" без остатка ( меньше искомого на три единицы ) заканчивается цифрой 6 - 3 = 3. Это последовательность чисел: ( 7 × 9 ) + 70 × n. Это числа: 63, 133, 203. Следующее число 273, а оно больше 210.

4) Среди найденных чисел есть:

206 при делении на 5 дает остаток 1.

204 + 2 = 206 при делении на 6 дает остаток 2.

203 + 3 = 206 при делении на 7 дает остаток 3.

5) Увеличим число на наименьшее общее кратное для чисел 5, 6 и 7 - число 210 столько раз сколько потребуется для того, чтобы не превысить число 999.

210 × 3 + 206 = 630 + 206 = 836

Следующее число 836 + 210 = 1046 - четырехзначное ( больше 999 ).

Проверка:

836 / 5 = 167 ( остаток 1 ).

836 / 6 = 139 ( остаток 2 ).

836 / 7 = 119 ( остаток 3 ).