Пошаговое объяснение:

Для доведення CK = LM, розглянемо подібність трикутників.

За умовою, трикутник ABC є прямокутним, тому ми маємо AB^2 + BC^2 = AC^2 з теореми Піфагора.

Розглянемо квадрати, побудовані на сторонах трикутника: квадрат на стороні AB має сторону AB і площу AB^2, квадрат на стороні BC має сторону BC і площу BC^2, а квадрат на стороні AC має сторону AC і площу AC^2.

У квадраті на стороні AB ми побудуємо діагональ CK, яка пройде через середину сторони AB та точку M - центр квадрата на стороні AC.

У квадраті на стороні BC ми побудуємо діагональ LM, яка пройде через середину сторони BC та точку K - центр квадрата на стороні AB.

За властивостями квадратів, діагоналі ділять квадрат на дві рівні частини. Отже, площа кожної з частин буде дорівнювати половині площі квадрата.

Так як площа квадрата на стороні AB дорівнює AB^2, то площа кожної з частин буде AB^2/2.

Аналогічно, площа квадрата на стороні BC дорівнює BC^2, то площа кожної з частин буде BC^2/2.

Згідно до побудови, площа квадрата на стороні AC дорівнює AC^2, тому площа кожної з частин буде AC^2/2.

Отже, ми маємо наступні рівності площ:

площа трикутника ABC = площа квадрата AB^2/2 + площа квадрата BC^2/2 + площа квадрата AC^2/2.

Замінюємо площі квадратів на вирази згідно з розглянутими раніше площами:

площа трикутника ABC = AB^2/2 + BC^2/2 + AC^2/2.

Враховуючи, що AB^2 +

BC^2 = AC^2, ми можемо спростити вираз:

площа трикутника ABC = AB^2/2 + BC^2/2 + AB^2/2 + BC^2/2 = (AB^2 + BC^2)/2 + (AB^2 + BC^2)/2 = AC^2/2 + AC^2/2 = AC^2.

Отримали, що площа трикутника ABC дорівнює площі квадрата на стороні AC.

Тепер розглянемо квадрат на стороні AC та діагональ CK, яка ділить його на дві рівні частини.

За властивостями квадратів, площа кожної з цих частин дорівнює половині площі квадрата.

Отже, площа кожної з цих частин буде AC^2/2.

Отже, площа трикутника ABC дорівнює площі квадрата на стороні AC, а площа кожної з двох частин квадрата дорівнює половині площі квадрата.

Так як площа кожної з частин квадрата дорівнює AC^2/2, то площа кожної з цих частин дорівнює площі трикутника ABC.

Отже, площа квадрата на стороні AC дорівнює площі трикутника ABC.

Оскільки площа кожної з частин квадрата дорівнює половині площі квадрата, то площа кожної з цих частин дорівнює площі трикутника ABC.

Таким чином, ми довели, що CK = LM, оскільки діагоналі квадратів ділять їх на дві рівні частини, які мають однакову площу, яка дорівнює площі трикутника ABC.