(1 + a_n) a_1 = 1в предыдущих заданиях я проверял на монотонность(возрастает или...

July 2022 1 18 Report

Исследовать на сходимость рекуррентную последовательность

a_{n+ 1} = 1 + 1/(1 + a_n)
a_1 = 1

в предыдущих заданиях я проверял на монотонность(возрастает или убывает) и ограниченность(сверху или снизу)

Answers & Comments

yugolovin

Verified answer

Интересная задача. $a_n=\dfrac{a_n+2}{a_n+1};\ a_1=1;\ a_2=1,5;\ a_3=1,4;\ \ldots$

Мы видим, что монотонности здесь нет, но есть надежда на отдельную монотонность подпоследовательностей с четными и нечетными номерами.

Но сначала, предположив наличие предела A последовательности, найдем его, перейдя к пределу в рекуррентном соотношении:

$A=\dfrac{A+2}{A+1};\ A^2+A=A+2; A=\sqrt{2}$ (отрицательное решение отбрасываем благодаря положительности членов последовательности).

Кстати... раз уж общей монотонности нет, может стоит доказать монотонное убывание расстояния от членов последовательности до предполагаемого предела? Даже не то важно, чтобы это расстояние монотонно убывало, как то, чтобы оно стремилось к нулю со стремлением n к бесконечности. Проверяем:

$|a_{n+1}-\sqrt{2}|=\left|\dfrac{a_n+2}{a_n+1}-\sqrt{2}\right|=\left|\dfrac{a_n+2-a_n\sqrt{2}-\sqrt{2}}{a_n+1}\right|=\left|\dfrac{(a_n-\sqrt{2})-\sqrt{2}(a_n-\sqrt{2})}{a_n+1}\right|=$