1. Доказать тождество (2sin^2 a * ctg a)/(cos^2 a-sin^2 a)=tg2a.

2. Найти cos(a) и tg(a) если sin(a) = 4/5 и π/2<а<π.

Ответ:

1. Тождество доказано (решение ниже).

2. cos a = (-3/5) и tg a = (-4/3).

Формулы:

[tex]\Large \boldsymbol {} \cos 2\alpha = \cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha \\\\\sin2 \alpha =2\sin \alpha *\cos\alpha\\\\\text{ctg} \:\alpha= \frac{\cos \alpha }{\sin\alpha } \\\\\cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha=1\\\\\text{tg} \:\alpha= \frac{\sin \alpha }{\cos\alpha }[/tex]

Объяснение:

1. Доказать тождество (2sin^2 a * ctg a)/(cos^2 a-sin^2 a)=tg2a.

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \frac{2\sin^2 \alpha * \text{ctg} \:\alpha }{\cos^2 \alpha -\sin^2 \alpha }=\text{tg} \:2a[/tex]

Начнём преобразование левой части уравнения применяя вышеуказанные формулы и будем продолжать до тех пор, пока не дойдём до tg 2a.

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \frac{2\sin^2 \alpha * \text{ctg} \:\alpha }{cos^2 \alpha -sin^2 \alpha }=\frac{2\sin^2 \alpha * \frac{\cos \alpha }{\sin\alpha }}{\cos2 \alpha }=\frac{2\sin \alpha *\cos\alpha}{\cos2 \alpha }=\\\\=\frac{\sin2 \alpha }{\cos2 \alpha } =\text{tg} \:2a[/tex]

Тождество доказано.

2. Найти cos(a) и tg(a) если sin(a) = 4/5 и π/2<а<π.

π/2<а<π, поэтому а лежит во второй четверти. Во II четверти косинус отрицательный.

Найдём cos(a) используя основное тригонометрическое тождество:

[tex]\Large \boldsymbol {} \cos^2 \alpha +\sin^2 \alpha=1\Longrightarrow\cos\alpha=-\sqrt{1-\sin^2 \alpha} =\\\\=-\sqrt{1-\left(\frac{4}{5} \right)^2} =-\sqrt{\frac{9}{25} }=-\frac{3}{5}[/tex]

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \boxed{ \cos \alpha =-\frac{3}{5} }[/tex]

Найдём tg a = (sin a)/(cos a):

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \text{tg} \:\alpha= \frac{\sin \alpha }{\cos\alpha } =\frac{4}{5} :(-\frac{3}{5} )=-\frac{4*\not5}{\not5*3} =-1\frac{1}{3}[/tex]

Во II четверти тангенс отрицательный, соответственно:

[tex]\LARGE \boldsymbol {} \boxed{ \text{tg} \:\alpha =-1\frac{1}{3} }[/tex]