Verified answer

3.1.

[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{x} +1=-2[/tex]

[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{x} =-2-1[/tex]

[tex]\sqrt{x+1}+\sqrt{x} =-3[/tex]

Заметим, что в левой части стоит сумма двух квадратных корней, то есть сумма двух неотрицательных значений, а значит также неотрицательное значение. Соответственно, левая часть не может принимать значение -3.

Ответ: нет корней

3.2.

[tex]\sqrt{11-\sqrt[3]{x^2+7} } =3[/tex]

Под знаком квадратного корня может стоять только неотрицательное выражение. Этот факт будет учтен далее в решении.

Возведем левую и правую часть в квадрат:

[tex]\left(\sqrt{11-\sqrt[3]{x^2+7} } \right)^2=3^2[/tex]

[tex]11-\sqrt[3]{x^2+7} =9[/tex]

[tex]\sqrt[3]{x^2+7} =11-9[/tex]

[tex]\sqrt[3]{x^2+7} =2[/tex]

Возведем левую и правую часть в куб:

[tex]\left(\sqrt[3]{x^2+7}\right)^3 =2^3[/tex]

[tex]x^2+7 =8[/tex]

[tex]x^2 =8-7[/tex]

[tex]x^2 =1[/tex]

[tex]x=\pm1[/tex]

Ответ: -1; 1

3.3.

[tex]2-x-\sqrt{x+10} =0[/tex]

[tex]\sqrt{x+10} =2-x[/tex]

Поскольку квадратный корень может принимать только неотрицательные значения, то необходимо потребовать выполнения следующего условия:

[tex]2-x\geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 2[/tex]

Также, под знаком квадратного корня может стоять только неотрицательное выражение. Этот факт будет учтен далее в решении.

Возведем обе части уравнения в квадрат:

[tex]\left(\sqrt{x+10}\right)^2 =(2-x)^2[/tex]

[tex]x+10 =(2-x)^2[/tex]

[tex]x+10 =4-4x+x^2[/tex]

[tex]4-4x+x^2-x-10=0[/tex]

[tex]x^2-5x-6=0[/tex]

По теореме Виета, для данного уравнения:

[tex]\begin{cases} x_1+x_2=5 \\ x_1x_2=-6 \end{cases}[/tex]

Тогда, сами корни уравнения равны:

[tex]x_1=-1;\ x_2=6[/tex]

Заметим, что второй корень не удовлетворяет условию [tex]x\leqslant 2[/tex].

Тогда, в ответ идет только один корень.

Ответ: -1

4.

[tex]y=\dfrac{4x}{6-x}[/tex]

Чтобы найти обратную функцию, в исходной функции поменяем обозначение "х" на "у" и наоборот и выразим "у" через "х":

[tex]x=\dfrac{4y}{6-y}[/tex]

[tex]4y=x(6-y)[/tex]

[tex]4y=6x-xy[/tex]

[tex]xy+4y=6x[/tex]

[tex]y(x+4)=6x[/tex]

[tex]y=\dfrac{6x}{x+4}[/tex]

Ответ: [tex]y=\dfrac{6x}{x+4}[/tex]