Ответ:
Смотри фото ниже.
Объяснение:
Решить логарифмические уравнения.
[tex]\bf 1)\ \ log_{\frac{1}{3}}(2x-1)=-2\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ 2x-1 > 0\ ,\ x > 0,5[/tex]
Запишем число -2 в виде логарифма по основанию 1/3 , применяя свойство логарифма [tex]\bf k=log_{a}\, a^{k}\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1[/tex] .
[tex]\bf log_{\frac{1}{3}}(2x-1)=log_{\frac{1}{3}}\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-2}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 2x-1=9\ \ ,\\\\2x=10\ \ ,\ \ \ x=5 > \dfrac{1}{2}\\\\Otvet:\ x=5\ .[/tex]
[tex]\bf 2)\ \ log_{0,2}\, (2x+5)=1\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ 2x+5 > 0\ \ ,\ \ x > -2,5[/tex]
Запишем число 1 в виде логарифма по основанию 0,2 , применяя свойство логарифма [tex]\bf log_{a}\, a=1\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1[/tex] .
[tex]\bf log_{0,2}(2x+5)=log_{0,2}\, 0,2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x+5=0,2\ \ ,\\\\2x=-4,8\ \ ,\ \ \ x=-2,4 > -2,5\\\\Otvet:\ x=-2,4\ .[/tex]
[tex]\bf 3)\ \ log_4(x^2-1)=log_4\, 3\ \ ,\\\\ODZ:x^2-1 > 0\ ,\ (x-1)(x+1) > 0\ ,\ \ x\in (-\infty ;-1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\\\\x^2-1=3\ \ ,\ \ \ x^2-4=0\ \ ,\ \ \ (x-2)(x+2)=0\ \ \ \Rightarrow \\\\x_1=-2 < -1\ ,\ x_2=2 > 1\\\\Otvet:\ \ x_1=-2\ ,\ x_2=2\ .[/tex]
[tex]\bf 4)\ \ log_2\, 28=log_2(3+x^2)\ \ ,\ \ \ ODZ:\ 3+x^2 > 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in R\\\\28=3+x^2\ \ ,\ \ \ x^2-25=0\ \ ,\ \ (x-5)(x+5)=0\ \ ,\\\\x_1=-5\ ,\ x_2=5\\\\Otvet:\ x_1=-5\ ,\ x_2=5\ .\\\\P.S.\ \ \ \boldsymbol{R=(-\infty \, ;+\infty \, )}[/tex]
[tex]\bf 5)\ \ 1+log_2(x+5)=log_2(3x-1)+log_2(x-1)\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x+5 > 0\\\bf 3x-1 > 0\\\bf x-1 > 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x > -5\\\bf x > \dfrac{1}{3}\\\bf x > 1\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x > 1\\\\log_22+log_2(x+5)=log_2(3x-1)+log_2(x-1)[/tex]
Применяем свойство логарифма
[tex]\bf log_{a}x+log_{a}y=log_{a}(x+y)\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1\ ,\ x > 0\ ,\ y > 0[/tex]
[tex]\bf log_2\Big(2(x+5)\Big)=log_2\Big((3x-1)(x-1)\Big)\ \ \Rightarrow \ \ 2x+10=(3x-1)(x-1)\\\\2x+10=3x^2-4x+1\\\\3x^2-6x-9=0\ \ ,\ \ x^2-2x-3=0\ \ ,\ x_1=-1\ ,\ x_2=3\ \ (Viet)\\\\x=-1 < 1\\\\Otvet:\ x=3\ .[/tex]
Copyright © 2024 SCHOLAR.TIPS - All rights reserved.
Answers & Comments
Ответ:
Смотри фото ниже.
Объяснение:
Verified answer
Ответ:
Решить логарифмические уравнения.
[tex]\bf 1)\ \ log_{\frac{1}{3}}(2x-1)=-2\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ 2x-1 > 0\ ,\ x > 0,5[/tex]
Запишем число -2 в виде логарифма по основанию 1/3 , применяя свойство логарифма [tex]\bf k=log_{a}\, a^{k}\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1[/tex] .
[tex]\bf log_{\frac{1}{3}}(2x-1)=log_{\frac{1}{3}}\Big(\dfrac{1}{3}\Big)^{-2}\ \ \ \ \Rightarrow \ \ \ \ 2x-1=9\ \ ,\\\\2x=10\ \ ,\ \ \ x=5 > \dfrac{1}{2}\\\\Otvet:\ x=5\ .[/tex]
[tex]\bf 2)\ \ log_{0,2}\, (2x+5)=1\ \ ,\ \ \ \ ODZ:\ 2x+5 > 0\ \ ,\ \ x > -2,5[/tex]
Запишем число 1 в виде логарифма по основанию 0,2 , применяя свойство логарифма [tex]\bf log_{a}\, a=1\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1[/tex] .
[tex]\bf log_{0,2}(2x+5)=log_{0,2}\, 0,2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 2x+5=0,2\ \ ,\\\\2x=-4,8\ \ ,\ \ \ x=-2,4 > -2,5\\\\Otvet:\ x=-2,4\ .[/tex]
[tex]\bf 3)\ \ log_4(x^2-1)=log_4\, 3\ \ ,\\\\ODZ:x^2-1 > 0\ ,\ (x-1)(x+1) > 0\ ,\ \ x\in (-\infty ;-1\ )\cup (\ 1\ ;+\infty \, )\\\\x^2-1=3\ \ ,\ \ \ x^2-4=0\ \ ,\ \ \ (x-2)(x+2)=0\ \ \ \Rightarrow \\\\x_1=-2 < -1\ ,\ x_2=2 > 1\\\\Otvet:\ \ x_1=-2\ ,\ x_2=2\ .[/tex]
[tex]\bf 4)\ \ log_2\, 28=log_2(3+x^2)\ \ ,\ \ \ ODZ:\ 3+x^2 > 0\ \ \Rightarrow \ \ x\in R\\\\28=3+x^2\ \ ,\ \ \ x^2-25=0\ \ ,\ \ (x-5)(x+5)=0\ \ ,\\\\x_1=-5\ ,\ x_2=5\\\\Otvet:\ x_1=-5\ ,\ x_2=5\ .\\\\P.S.\ \ \ \boldsymbol{R=(-\infty \, ;+\infty \, )}[/tex]
[tex]\bf 5)\ \ 1+log_2(x+5)=log_2(3x-1)+log_2(x-1)\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x+5 > 0\\\bf 3x-1 > 0\\\bf x-1 > 0\end{array}\right\ \ \left\{\begin{array}{l}\bf x > -5\\\bf x > \dfrac{1}{3}\\\bf x > 1\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x > 1\\\\log_22+log_2(x+5)=log_2(3x-1)+log_2(x-1)[/tex]
Применяем свойство логарифма
[tex]\bf log_{a}x+log_{a}y=log_{a}(x+y)\ ,\ a > 0\ ,\ a\ne 1\ ,\ x > 0\ ,\ y > 0[/tex]
[tex]\bf log_2\Big(2(x+5)\Big)=log_2\Big((3x-1)(x-1)\Big)\ \ \Rightarrow \ \ 2x+10=(3x-1)(x-1)\\\\2x+10=3x^2-4x+1\\\\3x^2-6x-9=0\ \ ,\ \ x^2-2x-3=0\ \ ,\ x_1=-1\ ,\ x_2=3\ \ (Viet)\\\\x=-1 < 1\\\\Otvet:\ x=3\ .[/tex]