Verified answer

Ответ:

Решить неравенства.  

Учитываем, что логарифмическая функция по основанию, большему 1 , возрастающая , а  по основанию, меньшему 1, убывающая .

[tex]\bf 1)\ \ log_5(x^2-11x+43) > 2\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x^2-11x+43 > 0\ \ \Rightarrow \ x\in R\\\\log_5(x^2-11x+43) > log_55^2[/tex]  

Так как функция  [tex]\bf y=log_5x[/tex]  возрастающая, то  [tex]\bf x^2-11x+43 > 25[/tex]  .

[tex]\bf x^2-11x+18 > 0\ \ ,\ \ x_1=2\ ,\ x_2=9\ \ (Viet)\\\\(x-2)(x-9) > 0[/tex]

Метод интервалов. Знаки функции:   [tex]\bf +++(2)---(9)+++[/tex]  

Ответ:   [tex]\boldsymbol{x\in (-\infty \, ;\ 2\ )\cup (\ 9\ ;+\infty \, )}[/tex]  .

[tex]\bf 2)\ \ log_{0,5}(5x-2)\leq 1\ \ ,\ \ \ ODZ:\ 5x-2 > 0\ \ \Rightarrpow \ \ x > 0,4\ \ ,\\\\ log_{0,5}(5x-2)\leq log_{0,5}0,5[/tex]

Так как функция  [tex]\bf y=log_{0,5}x[/tex]  убывающая, то  [tex]\bf 5x-2\geq 0,5[/tex]  .

[tex]\bf 5x\geq 2,5\ \ ,\ \ x\geq 0,5[/tex]  

Учитывая ОДЗ напишем ответ.

Ответ:  [tex]\boldsymbol{x\in [\ 0,5\ ;+\infty \, )}[/tex]  .

[tex]\bf 3)\ \ log_2(3x-2) < log_2(2x-3)\ \ ,\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf 3x-2 > 0\\\bf 2x-3 > 0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf x > \frac{2}{3}\\\bf x > 1,5\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x > 1,5\\\\3x-2 < 2x-3\ \ ,\ \ \ x < -1\\\\\left\{\begin{array}{l}\bf x > 1,5\\\bf x < -1\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \varnothing \\\\\boldsymbol{Otvet:\ \ x\in \varnothing\ .}[/tex]    

[tex]\bf 4)\ \ log_{\frac{1}{2}}(x-2)-log_{\frac{1}{2}}(2x-4)\geq 0\ \ ,\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x-2 > 0\\\bf 2x-4 > 0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf x > 2\\\bf x > 2\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x > 2\\\\ log_{\frac{1}{2}}(x-2)\geq log_{\frac{1}{2}}(2x-4)\\\\x-2\leq 2x-4\ \ ,\ \ \ -x\leq -2\ \ ,\ \ x\geq 2[/tex]  

Учитывая ОДЗ напишем ответ.

Ответ:  [tex]\boldsymbol{x\in (\ 2\ ;+\infty \, )}[/tex]  .