Verified answer

Ответ:

При решении логарифмических неравенств надо учитывать, что логарифмическая функция по основанию, большему 1 , возрастающая , а  по основанию, меньшему 1, убывающая .

Для возрастающих функций знак между функциями и между аргументами функций один и тот же . Для убывающих функций знак между функциями и между аргументами функций противоположны .

[tex]\bf 1)\ \ log_2(3-x) < -1\ \ ,\ \ \ ODZ > \ 3-x > 0\ \ ,\ \ x < 3\\\\log_2(3-x) < log_22^{-1}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ 3-x < \dfrac{1}{2}\ \ ,\ \ \ x > 2,5\\\\Otvet:\ x\in (\ 2,5\ ;\ 3\ )\ .\\\\\\2)\ \ log_{0,5}(x-2) < log_{0,5}(2x-12)\ \ ,\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x-2 > 0\\\bf 2x-12 > 0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf x > 2\\\bf x > 6\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x > 6\\\\x-2 > 2x-12\ \ ,\ \ \ -x > -10\ \ ,\ \ x < 10\\\\Otvet:\ x\in (\ 6\ ;\ 10\ )\ .[/tex]  

[tex]\bf 3)\ \ 2\cdot log_{1/2}(1-x) < log_{1/2}(3x+1)\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf 1-x > 0\\\bf 3x+1 > 0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf x < 1\\\bf x > -\frac{1}{3}\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ -\dfrac{1}{3} < x < 1\\\\ log_{1/2}(1-x)^2 < log_{1/2}(3x+1)\\\\(1-x)^2 > 3x+1\ \ ,\ \ \ 1-2x+x^2 > 3x+1\ \ ,\ \ \ x^2-5x > 0\ \ ,\ \ x(x-5) > 0\ ,\\\\znaki:\ \ +++(0)---(5)+++\\\\x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 5\ ;+\infty \, )[/tex]

[tex]\bf \left\{\begin{array}{l}\bf -\dfrac{1}{3} < x < 1\\\bf x\in (-\infty ;\ 0\ )\cup (\ 5\ ;+\infty \, )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x\in \Big(-\dfrac{1}{3}\ ;\ 0\ \Big)\\\\\\Otvet:\ x\in \Big(-\dfrac{1}{3}\ ;\ 0\ \Big)\ .[/tex]  

[tex]\bf 4)\ \ log_2(x^2-4)-3log_2\dfrac{x+2}{x-2} > 2\ \ ,\\\\ODZ:\left\{\begin{array}{l}\bf x^2-4 > 0\\\bf \dfrac{x+2}{x-2} > 0\end{array}\right\ \left\{\begin{array}{l}\bf (x-2)(x+2) > 0\\\bf (x+2)(x-2) > 0\end{array}\right\ \ \Rightarrow \ \ x\in (-\infty \, ;-2\ )\cup (\ 2\ ;+\infty \, )[/tex]

[tex]\bf log_2(x^2-4)-log_2\dfrac{(x+2)^3}{(x-2)^3} > log_22^2\\\\\\log_2\dfrac{(x^2-4)(x-2)^3}{(x+2)^3} > log_22^2\\\\\\log_2\ \dfrac{(x-2)(x+2)(x-2)^3}{(x+2)^3} > log_2\, 2^2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{(x-2)^4}{(x+2)^2} > 2^2\ \ ,\\\\\\\Big(\dfrac{(x-2)^2}{x+2}\Big)^2-2^2 > 0\ ,\ \ \ \Big(\dfrac{(x-2)^2}{x+2}-2\Big)\Big(\dfrac{(x-2)^2}{x+2}+2\Big) > 0\ \ ,[/tex]  

[tex]\bf \dfrac{x^2-4x+4-2x-4}{x+2}\, \cdot \, \dfrac{x^2-4x+4+2x+4}{x+2} > 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(x^2-6x)(x^2-2x+8)}{(x+2)^2} > 0\ \ ,\ \ \dfrac{x\, (x-6)(x^2-2x+8)}{(x+2)^2} > 0\ \ ,[/tex]  

[tex]\bf x^2-2x+8 > 0[/tex]   при любых  х  , так как   [tex]\bf D=2^2-4\cdot 8=-28 < 0[/tex]  .

[tex]\bf \dfrac{x(x-6)}{(x+2)^2} > 0\\\\ x_1=0\ \ ;\ \ \ x-6=0\ \ \to\ \ x_2=6\ \ ;\ \ \ x+2=0\ \ \to \ \ x_3=-2\\\\znaki:\ \ +++(-2)+++(0)---(6)+++\\\\x\in (-\infty ;-2\ )\cup (-2\ ;\ 0\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )[/tex]

[tex]\bf \left\{\begin{array}{l}\bf x\in (-\infty ;-2\ )\cup (\ 2\ ;+\infty )\\\bf x\in (-\infty ;-2\ )\cup (-2\ ;\ 0\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )\end{array}\right\ \ \ \Rightarrow \\\\\\Otvet:\ \boldsymbol{x\in (-\infty ;-2\ )\cup (\ 6\ ;+\infty \, )\ .}[/tex]