Решение.

[tex]\displaystyle \bf \dfrac{1}{5\cdot 12}+\frac{1}{12\cdot 19}+...+\frac{1}{698\cdot 705}=[/tex]  

Заметим, что множители в знаменателях каждой дроби отличаются

на 7 .  Рассмотрим разность дробей

[tex]\bf \dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+7}=\dfrac{(n+7)-n}{n\cdot (n+7)}=\dfrac{7}{n\cdot (n+7)}[/tex]   .  

Запишем заданную сумму в виде  

[tex]\bf \displaystyle =\frac{1}{7}\cdot \left(\Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{12}\Big)+\Big(\frac{1}{12}-\frac{1}{19}\Big)+...+\Big(\frac{1}{698}-\frac{1}{705}\Big)\right)=\\\\\\=\frac{1}{7}\cdot \Big(\frac{1}{5}-\frac{1}{705}\Big)=\frac{1}{7}\cdot \frac{700}{5\cdot 705}=\frac{20}{705}=\frac{4}{141}[/tex]