[tex]y'-\mathrm{ctg}\left(x\right)\,y-\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}=0[/tex]

Сделаем замену [tex]y=uv[/tex], значит [tex]y'=uv'+u'v[/tex], то есть

[tex]u\,v'+u'\,v-u\,v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\Leftrightarrow u'\,v+u\,\left({v'-v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)}\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}\Leftrightarrow v'-v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)=0\Leftrightarrow[/tex] [tex]\Leftrightarrow v'=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\Leftrightarrow \mathrm{d}v=v\,\mathrm{ctg}\left(x\right)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \int{\dfrac{1}{v}}{\;\mathrm{d}v}=\int{\mathrm{ctg}\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \ln\left(v\right)=\ln\left(\sin\left(x\right)\right)\Rightarrow v=\sin\left(x\right)[/tex]

Теперь мы решаем второе уравнение

[tex]u'\,\sin\left(x\right)=\dfrac{1}{\sin\left(x\right)}[/tex]

Мы поделим всё на [tex]\sin(x)[/tex] и умножим на [tex]\mathrm{d}x[/tex]

[tex]u'=\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}\Leftrightarrow \mathrm{d}u=\dfrac{\mathrm{d}x}{\sin^{2}\left(x\right)}\Rightarrow \\\Rightarrow \int{1}{\;\mathrm{d}u}=\int{\dfrac{1}{\sin^{2}\left(x\right)}}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow u=C-\dfrac{\cos\left(x\right)}{\sin\left(x\right)}[/tex]

Делаем обратную замену и получаем

[tex]y=C\,\sin\left(x\right)-\cos\left(x\right)[/tex]