[tex]y'-\mathrm{tg}\left(x\right)\,y=-\cos\left(x\right)\,{y}^{2}[/tex]

Данное уравнение - это уравнение Бернулли. Поделим всё на [tex]y^2[/tex] и сделаем замену

[tex]\dfrac{y'}{{y}^{2}}-\dfrac{\mathrm{tg}\left(x\right)}{y}=-\cos\left(x\right)[/tex]

Замена

[tex]u=\frac{1}{y}\Rightarrow u'=-\frac{y'}{y^2}; \; y=\frac{1}{u}\Rightarrow y'=-u'y^2[/tex]

Тогда, наше уравнение можно переписать

[tex]-u'-u\,\mathrm{tg}\left(x\right)=-\cos\left(x\right)\Leftrightarrow u'+u\,\mathrm{tg}\left(x\right)=\cos\left(x\right)[/tex]

Снова делаем замену [tex]u=tv, u'=tv'+t'v[/tex], тогда

[tex]t\,v'+t'\,v+t\,v\,\mathrm{tg}\left(x\right)=\cos\left(x\right)\Leftrightarrow t\,v'+v\,\left({t'+t\,\mathrm{tg}\left(x\right)}\right)=\cos\left(x\right)[/tex]

Решаем первое уравнение

[tex]t'+t\,\mathrm{tg}\left(x\right)=0\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}x}=-t\,\mathrm{tg}\left(x\right)\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}t}{t}=-\mathrm{tg}\left(x\right)\,\mathrm{d}x\Rightarrow \\\Rightarrow \int{\dfrac{1}{t}}{\;\mathrm{d}t}=\int{-\mathrm{tg}\left(x\right)}{\;\mathrm{d}x}\Rightarrow \ln\left(t\right)=\ln\left(\cos\left(x\right)\right)\Rightarrow t=\cos\left(x\right)[/tex]

Решаем второе уравнение

[tex]v'\,\cos\left(x\right)=\cos\left(x\right)\Leftrightarrow v'=1\Rightarrow v=x+C[/tex]

Делаем обратную замену

[tex]u=\left(x+C\right)\,\cos\left(x\right)\Rightarrow \dfrac{1}{y}=x\,\cos\left(x\right)+C\,\cos\left(x\right)\Rightarrow y=\dfrac{1}{\left(x+C\right)\,\cos\left(x\right)}[/tex]