[tex]y\,y''-y'\,\left(y\,y'+{e}^{y}\right)=0[/tex]

Сделаем замену [tex]y'=u, y''=uu'[/tex], тогда

[tex]u\,u'\,y-u\,\left({e}^{y}+u\,y\right)=0[/tex]

Поделим всё на [tex]u[/tex] и [tex]y[/tex], но не забываем про решение [tex]u=0[/tex]!

[tex]u'\,y-{e}^{y}-u\,y=0\Leftrightarrow u'-\dfrac{{e}^{y}}{y}-u=0\Leftrightarrow u'-u=\dfrac{{e}^{y}}{y}[/tex]

Сделаем ещё одну замену [tex]u=tv, u'=tv'+t'v[/tex], тогда

[tex]t\,v'+t'\,v-t\,v=\dfrac{{e}^{y}}{y}\Leftrightarrow t\,v'+v\,\left({t'-t}\right)=\dfrac{{e}^{y}}{y}[/tex]

Решаем первое уравнение [tex]t'-t=0\Leftrightarrow t'=t\Rightarrow t={e}^{y}[/tex]. Теперь решаем второе уравнение

[tex]v'\,{e}^{y}=\dfrac{{e}^{y}}{y}\Leftrightarrow v'=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}y}=\dfrac{1}{y}\Leftrightarrow \mathrm{d}v=\dfrac{\mathrm{d}y}{y}\Rightarrow \\\Rightarrow \int{1}{\;\mathrm{d}v}=\int{\dfrac{1}{y}}{\;\mathrm{d}y}\Rightarrow v=\ln\left(y\right)+C\Rightarrow u={e}^{y}\,\left(\ln\left(y\right)+C\right)\Rightarrow\\\Rightarrow y'={e}^{y}\,\ln\left(y\right)+C\,{e}^{y}[/tex]

Осталось решить получившееся уравнение

[tex]\dfrac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}={e}^{y}\,\ln\left(y\right)+C\,{e}^{y}\Leftrightarrow \mathrm{d}y=\left({e}^{y}\,\ln\left(y\right)+C\,{e}^{y}\right)\,\mathrm{d}x\Leftrightarrow \dfrac{\mathrm{d}y}{{e}^{y}\,\ln\left(y\right)+C\,{e}^{y}}=\mathrm{d}x\Rightarrow \\\Rightarrow \int{\dfrac{1}{{e}^{y}\,\ln\left(y\right)+C\,{e}^{y}}}{\;\mathrm{d}y}=\int{1}{\;\mathrm{d}x}=x+C_1,y=\frac{1}{e^C}[/tex]