Ответ:

Доказано, что DK ⊥ AB.

Расстояние от точки A до плоскости DKC равно √2/2 см.

Объяснение:

Прямая CD перпендикулярна плоскости остроугольного треугольника ABC, CK-его высота.

1) докажите, что прямые DK и AB взаимно перпендикулярны.

2) Найдите расстояние от точки A до плоскости DKC, если расстояние от точки D до прямой AB равно 1 см, ∠DAK = 45°.

Дано: ΔАВС - остроугольный;

CD ⊥ АВС;

СК - высота.

АВ = 1 см; ∠DAK = 45°

Доказать: DK ⊥ AB.

Найти: расстояние от точки A до плоскости DKC.

Доказательство:

Соединим точки K и D.

CD ⊥ АВС ⇒ CК - проекция KD на АВС.

СК ⊥ АВ (высота)

• Теорема о трех перпендикулярах:
• Прямая, проведённая в плоскости через основание наклонной, перпендикулярная к её проекции на эту плоскость, перпендикулярна и самой наклонной.

⇒ DK ⊥ AB.

Решение:

АВ ⊥ СК (условие);  AB ⊥ DK (п.1);

• Если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

⇒ АВ ⊥ KDC

• Расстояние от точки до плоскости - длина перпендикуляра, опущенного из данной точки на данную плоскость.

⇒ AK - искомый отрезок.

Рассмотрим ΔADK - прямоугольный (DK ⊥ AB)

• Косинус угла - отношение прилежащего катета к гипотенузе.

[tex]\displaystyle \bf \frac{AK}{AD}=cos\;45^0\\ \\\frac{AK}{1} =\frac{\sqrt{2} }{2}\\ \\AK=\frac{\sqrt{2} }{2}[/tex](см)

Расстояние от точки A до плоскости DKC равно √2/2 см.