13. В mathleague три раунда: Sprint, Target и Team. В Sprint 30 заданий, в Team ...

kamilmatematik100504 @kamilmatematik100504

July 2022 1 56 Report

13. В mathleague три раунда: Sprint, Target и Team. В Sprint 30 заданий, в Team 10 заданий, в Target 8 заданий. Вопросы случайным образом перемешали. Каково математическое ожидание числа
заданий из других раундов, попавших в Sprint? (Объясните поподробней как нужно находить математическое ожидание ; и для чего оно )

Answers & Comments

Artem112

Verified answer

Математическое ожидание - сумма попарных произведений значений случайной величины на вероятности, с которыми эти величины достигаются.

То есть, если значение $x_1$ достигается с вероятностью $p_1$ , значение $x_2$ - с вероятностью $x_2$ , и так далее, значение $x_n$ - с вероятностью $x_n$ , то математическое ожидание:

$M(x)=x_1p_1+x_2p_2+...+x_np_n=\sum\limits_{i=1}^{n}x_ip_i$

Математическое ожидание показывает среднее или наиболее вероятное значение случайной величины. В единичном испытании математическое ожидание равно вероятности события.

Для вычисления мат.ожидания как ожидаемого числа вопросов используем формулу:

$M(x)=pn$ , где $p$ - вероятность осуществления некоторого события, $n$ - число повторений.

В нашем случае, $p$ - вероятность того, что очередной вопрос не из группы "спринт", $n$ - число вопросов группы "спринт" (нас интересует сколько раз среди них встретится вопрос не группы "спринт").

Поскольку вопросов не из группы "спринт" $10+8=18$ , а общее число вопросов $30+10+8=48$ , то вероятность того, что очередной вопрос не из группы "спринт" равна:

$p=\dfrac{18}{48}$

Число вопросов группы "спринт": $n=30$

Тогда:

$M(x)=\dfrac{18}{48}\cdot30 =11.25$

Конечно, можно действовать по первой формуле.

Для этого рассмотрим возможные количества вопросов не из группы "спринт", которые могли оказаться в группе "спринт". Это количества: 0, 1, 2, ..., 17, 18.

Найдем вероятности осуществления этих возможностей. Так как общий смысл сохраняется во всех ситуациях, то рассмотрим нахождение вероятности в общем виде - найдем с какой вероятностью i вопросов не из группы "спринт" попадут в группу "спринт".

Число способов выбрать вопросы в группу "спринт" с учетом этого условия соответствует тому, что из 18 вопросов не группы "спринт" мы выберем некоторые i штук, а остальные (30-i) штук мы выберем из 30 вопросов группы "спринт". Итоговое число благоприятных комбинаций: $C_{30}^{30-i}\cdot C_{18}^i=C_{30}^i\cdot C_{18}^i$ .

Общее число способов выбрать вопросы в группу "спринт" соответствует тому, что из всех 48 вопросов мы выберем некоторые 30 штук. Общее число комбинаций: $C_{48}^{30}$ .

Тогда, ситуации, что в группе "спринт" окажется i вопросов не из группы "спринт", соответствует вероятность $\dfrac{C_{30}^i\cdot C_{18}^i}{C_{48}^{30}}$ .

Запишем математическое ожидание как сумму попарных произведений значений на вероятность:

$M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18}\left(i\cdot \dfrac{C_{30}^i\cdot C_{18}^i}{C_{48}^{30}}\right)$

Можно попробовать упростить эту формулу:

$M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18}\left(i\cdot \dfrac{\dfrac{30!}{i!\cdot(30-i)!} \cdot \dfrac{18!}{i!\cdot(18-i)!} }{\dfrac{48!}{30!\cdot18!} }\right)$

$M(x)=\sum\limits_{i=0}^{18} \dfrac{i\cdot(30!\cdot18!)^2}{ (i!)^2\cdot(30-i)!\cdot(18-i)!\cdot48!}$

$M(x)=\dfrac{(30!\cdot18!)^2}{48!} \cdot \sum\limits_{i=0}^{18} \dfrac{i}{ (i!)^2\cdot(30-i)!\cdot(18-i)!}$

Далее нужно каким-либо способом досчитать эту величину. Вычисления дают полученный ранее результат:

$M(x)=11.25$

Учитывая контекст вопроса, а именно, что мат.ожидание соответствует числу вопросов, попавших в группу "спринт", запишем также округленное до целого числа значение мат.ожидания:

$M(x)\approx11$

Ответ: $M(x)=11.25\approx11$

7 votes Thanks 7

kamilmatematik100504 Спасибо вам большое !

Answers & Comments

Verified answer

26 63b9ab396808d

cad 2acd ac 13a bd 5a ab cd 20cosacd

1 2 3 63b505c6451fa

29 63b02c08ea272

ffe5c19c3b7668ef4b1b554dfa8e77e1

24 63a4d227223ad

23 63988ccb1497a

8677591cd58e85d13b711fd8b4752961

36a6351b4815d8a6c4d5d199a568622b

968e206e45529dfb33b275d95e879228

рекомендуемые вопросы

Helpful Links

Helpful Social