Verified answer

Математическое ожидание вычисляется как сумма попарных произведение значений случайной величины на вероятности, с которыми эти значения достигаются:

[tex]M(X)=\sum\limits_i x_ip_i[/tex]

По условию, делители числа 144 распределены равномерно. Значит, вероятность выбрать каждый из них одинакова:

[tex]\forall i:\ p_i=\dfrac{1}{n_d}[/tex], где [tex]n_d[/tex] - количество делителей числа 144

Подставим в формулу мат.ожидания:

[tex]M(X)=\sum\limits_i \left(x_i\cdot \dfrac{1}{n_d} \right)=\dfrac{1}{n_d}\sum\limits_i x_i[/tex]

По сути, остается определить величину [tex]\sum\limits_i x_i[/tex], равную общему количеству делителей у делителей числа 144.

Обозначим: [tex]n_{dd}=\sum\limits_i x_i[/tex].

Уточнение о том, что мы ищем.

У числа 144 есть делители: 1, 2, 3, 4 и т.д.

У каждого из них есть свои делители:

- у числа 1 - 1 делитель,

- у числа 2 - 2 делителя,

- у числа 3 - 2 делителя,

- у числа 4 - 3 делителя и т.д.

Нам нужно определить сумму этих количеств делителей: 1+2+2+3+...

В целом, так как число 144 небольшое, все эти делители и их делители можно перебрать вручную. Но попробуем решить задачу в общем виде.

Число 144 разложим на простые множители:

[tex]144=2^4\cdot3^2[/tex]

Тогда, рассмотрим число N вида:

[tex]N=p_1^{n_1}p_2^{n_2},\ p_1,p_2\in\mathbb{P},\ n_1,n_2\in\mathbb{N}[/tex]

Определим общее количество делителей у делителей числа N.

Для краткости будем использовать обозначение:

СПИСОК - это все делители всех делителей числа N (без удаления повторяющихся). Собственно, количество чисел в списке нам нужно найти.

Рассмотрим частные случаи.

1) Заметим, что само число N является делителем только самого себя (как своего делителя) и не является делителем никакого другого своего делителя. То есть, число N встречается в списке ровно 1 раз.

2) Предположим, что из разложения числа N на простые множители мы уберем множитель [tex]p_1[/tex] в количестве [tex]x[/tex] штук, где [tex]x\leqslant n_1[/tex]. Получим число [tex]\dfrac{N}{p_1^x}[/tex]. Это число является делителем следующих чисел:

[tex]N;\ \dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^x}[/tex]

Значит, полученное число [tex]\dfrac{N}{p_1^x}[/tex] встречается в списке (x+1) раз.

Общий случай. Рассмотрим, что произойдет, если из разложения числа N на простые множители мы уберем множитель [tex]p_1[/tex] в количестве [tex]x[/tex] штук и множитель [tex]p_2[/tex] в количестве [tex]y[/tex] штук, где [tex]x\leqslant n_1[/tex] и [tex]y\leqslant n_2[/tex]. Получим число [tex]\dfrac{N}{p_1^xp_2^y}[/tex]. Это число является делителем следующих чисел:

[tex]N;\ \left(\dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^x}\right);\ \left(\dfrac{N}{p_2};\ \dfrac{N}{p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_2^y}\right);[/tex]

[tex]\dfrac{N}{p_1p_2};\ \dfrac{N}{p_1p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1p_2^y};[/tex]

[tex]\dfrac{N}{p_1^2p_2};\ \dfrac{N}{p_1^2p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^2p_2^y};[/tex]

...

[tex]\dfrac{N}{p_1^xp_2};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^y}[/tex]

Посчитаем количество выписанных чисел. В первой строке записано (1+x+y) чисел. В каждой из x оставшихся строк записано по y чисел. Значит, всего выписано чисел:

[tex]1+x+y+xy=(x+1)(y+1)[/tex]

То же самое можно было понять, записав числа в другом порядке:

[tex]N;\ \dfrac{N}{p_2};\ \dfrac{N}{p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_2^y};[/tex]

[tex]\dfrac{N}{p_1};\ \dfrac{N}{p_1p_2};\ \dfrac{N}{p_1p_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1p_2^y};[/tex]

...

[tex]\dfrac{N}{p_1^x};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2};\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^2};\ \ldots;\ \dfrac{N}{p_1^xp_2^y}[/tex]

Теперь уже выписана (x+1) строка по (y+1) числу в каждой. Значит, всего чисел выписано (x+1)(y+1).

Тогда, число [tex]\dfrac{N}{p_1^xp_2^y}[/tex] встречается в списке (x+1)(y+1) раз.

Частный случай 2) по сути является общим случаем при [tex]y=0[/tex], а частный случай 1) - при [tex]x=y=0[/tex].

Остается найти сумму чисел вида (x+1)(y+1) при всех возможных значениях x и y:

[tex]n_{dd}=\sum\limits_{x=0}^{n_1}\sum\limits_{y=0}^{n_2}(x+1)(y+1)=[/tex]

[tex]=\Big(1\cdot1+1\cdot2+\ldots+1\cdot(n_2+1)\Big)+\Big(2\cdot1+2\cdot2+\ldots+2\cdot(n_2+1)\Big)+\ldots+[/tex]

[tex]+\ldots+\Big((n_1+1)\cdot1+(n_1+1)\cdot2+\ldots+(n_1+1)\cdot(n_2+1)\Big)=[/tex]

[tex]=1\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)+2\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)+\ldots+[/tex]

[tex]+\ldots+(n_1+1)\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)=[/tex]

[tex]=\Big(1+2+\ldots+(n_2+1)\Big)\cdot\Big(1+2+\ldots+(n_1+1)\Big)=[/tex]

[tex]=\left(\dfrac{1+(n_2+1)}{2}\cdot(n_2+1)\right)\cdot\left(\dfrac{1+(n_1+1)}{2}\cdot(n_1+1)\right)=[/tex]

[tex]=\dfrac{(n_1+1)(n_1+2)(n_2+1)(n_2+2)}{4}[/tex]

Дорешаем задачу в общем виде. Для нахождения мат.ожидания нужно также определить число делителей числа N:

[tex]n_d=(n_1+1)(n_2+1)[/tex]

Тогда, мат.ожидание:

[tex]M(X)=\dfrac{1}{n_d}\cdot n_{dd}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{1}{(n_1+1)(n_2+1)}\cdot\dfrac{(n_1+1)(n_1+2)(n_2+1)(n_2+2)}{4}[/tex]

[tex]M(X)=\dfrac{(n_1+2)(n_2+2)}{4}[/tex]

Возвращаемся к числу 144.

[tex]N=144=2^4\cdot 3^2\Rightarrow n_1=4;\ n_2=2[/tex]

Получим:

[tex]M(X)=\dfrac{(4+2)\cdot(2+2)}{4}=\dfrac{6\cdot4}{4}=6[/tex]

Ответ: 6