Основания a и b, a>b; высота h; диагонали 20 и 15. Имеем два прямоугольных треугольника со сторонами a, h, 20 и b, h, 15. Легко усмотреть здесь (как частный случай) два треугольника, подобных египетскому 3-4-5 (a=16, b=9, h=12), докажем, что это единственное решение. Из теоремы Пифагора получаем два равенства
20²=a²+h² и 15²=b²+h², откуда 20²-a²=15²-b²; a²-b²=25·7;
(a-b)(a+b)=25·7. При этом a<20, b<15 (катет меньше гипотенузы), поэтому a+b<35 (даже меньше 34). Поскольку a-b<a+b, имеем следующие возможности: a-b=1, a+b=175 (противоречит условию a+b<34); a-b=5, a+b=35 (бракуем по той же причине); a-b=7, a+b=25⇒ a=16; b=9⇒h=12; [tex]S=\dfrac{a+b}{2}\gdot h=\dfrac{16+9}{2}\cdot 12=150.[/tex]
Answers & Comments
Verified answer
Ответ:
150
Объяснение:
Основания a и b, a>b; высота h; диагонали 20 и 15. Имеем два прямоугольных треугольника со сторонами a, h, 20 и b, h, 15. Легко усмотреть здесь (как частный случай) два треугольника, подобных египетскому 3-4-5 (a=16, b=9, h=12), докажем, что это единственное решение. Из теоремы Пифагора получаем два равенства
20²=a²+h² и 15²=b²+h², откуда 20²-a²=15²-b²; a²-b²=25·7;
(a-b)(a+b)=25·7. При этом a<20, b<15 (катет меньше гипотенузы), поэтому a+b<35 (даже меньше 34). Поскольку a-b<a+b, имеем следующие возможности: a-b=1, a+b=175 (противоречит условию a+b<34); a-b=5, a+b=35 (бракуем по той же причине); a-b=7, a+b=25⇒ a=16; b=9⇒h=12; [tex]S=\dfrac{a+b}{2}\gdot h=\dfrac{16+9}{2}\cdot 12=150.[/tex]