Ответ:

28.

Объяснение:

                                   [tex]P(x)=x^3+ax^2+bx+c.[/tex]

Пусть корни многочлена отрицательны,

             [tex]x_1=-p;\ x_2=-q;\ x_3=-r;\ p > 0;\ q > 0;\ r > 0.[/tex]

Тогда     [tex]P(x)=(x-x_1)(x-x_2)(x-x_3)=(x+p)(x+q)(x+r)=[/tex]

                     [tex]=x^3+(p+q+r)x^2+(pq+qr+rp)x+pqr\Rightarrow[/tex]

                   [tex]a=p+q+r > 0;\ b=pq+qr+rp > 0;\ c=pqr > 0.[/tex]

Поэтому [tex]P(x) > x^3[/tex] при [tex]x > 0,[/tex] следовательно [tex]P(3) > 27.[/tex] Докажем, что существует многочлен с [tex]P(3)=28.[/tex]

Пусть  [tex]p=0,01,\ q=0,01+t,\ r=0,01+2t,[/tex] тогда

[tex]P(3)=(3+0,01)(3+0,01+t)(3+0,01+2t)=3,01^3+3,01^2\cdot 3t+3,01\cdot 2t^2;[/tex]

поэтому уравнение P(3)=28 превращается в квадратное уравнение относительно t

                   [tex]6,02t^2+3,01^2\cdot 3t-(28-27,270901)=0[/tex]

(неохота 3,01 возводить в квадрат). Старший коэффициент положителен, свободный член отрицателен, поэтому уравнение имеет один положительный корень и один отрицательный: нам нужен положительный корень s.

Многочлен       [tex]P(x)=(x+0,01)(x+0,01+s)(x+0,01+2s)[/tex] искомый: его корни [tex]-0,01,\ -0,01-s,\ -0,01-2s[/tex]  отрицательны, причем P(3)=28.