Ответ:

Основание прямой призмы - ромб  ABCD, его меньшая диагональ - АС.

Боковые рёбра призмы перпенд-ны АBCD , поэтому ∠0ВВ1=90° .

Сечение , проходящее через АС и вершину верхнего основания В1 (можно было D1) , образует угол в 45 ° с плоск. основания . Это сечение АВ1С. АВ1=СВ1 , как диагонали равных боковых граней призмы  ⇒  ΔАВ1С - равнобедренный . Проведём В1О ⊥ АС . Высота В1О этого Δ явл. и медианой , АО=СО . BD - вторая, бОльшая диагональ, ⊥ диагонали АС ( у ромба диагонали перп-ны и в точке пересечения делятся пополам ) . Значит угол между пл. основания и сечением - это ∠ВОВ1 =45° .

ΔВОВ1 - прямоугольный , ∠ОВВ1=90° . Но  так как один из острых углов равен 45°, то и второй острый угол = 45° .  Тогда  ΔВОВ1 - равнобедренный и ВО=ВВ1 .

Так как высота призмы равна 6 , то ВВ1=6 , а значит ВО=6 . Гипотенуза ОВ1=√(ОВ²+ВВ1²)=√(6²+6²)=6√2 .

Найдём сторону ромба АB. Диагональ боковой грани АВВ1А1 наклонена к плоскости основания под углом ВАВ1 , т.к. АВ∈АВСD , ВВ1⊥АВ , АВ - проекция наклонной АВ1 на пл. ABCD , ∠ВАВ1=β .

arctgβ=√3/2, значит отношение ВВ1 : АВ=√3:2 . То есть ВВ1=√3х , АВ=2х .  Но  ВВ1=6=√3х  ⇒  х=6:√3=2√3  , и  АВ=2х=2*2√3=4√3 .

Найдём АВ1=√(АВ²+ВВ1²)=√(48+36)=√84=2√21

Найдём из ΔАОВ1 сторону АО : АО=√(АВ1²-ОВ1²)=√(84-72)=√12=2√3 .

Площадь сечения АСВ1 равна S=AO*OB1=2√3*6√2=12√6 .

Объём призмы равен  V=S(осн.)*Н=4*S(ΔАОВ)*6=24*(1/2)*2√3*6=144√3