Ответ:

1) y=C₁e²ˣ+C₂e³ˣ

2) y=⁵/₃ - ²/₃e⁻³ˣ

3) y=C₁e⁻ˣcos2x+C₂e⁻ˣsin2x

C₁ и C₂∈R

Объяснение:

Все уравнения являются линейными однородными с постоянными коэффициентами, значит для начала необходимо решить характеристическое уравнение и в зависимости от корней определить решения

1) y''-5y'+6y=0

k²-5k+6=0

k₁=2, k₂=3

y₁=e²ˣ ,  y₂=e³ˣ

y=C₁e²ˣ + C₂e³ˣ

2) y''+3y'=0, y(0)=1, y'(0)=2

k²+3k=0

k₁=0, k₂=-3

y₁=e⁰ˣ=1 ,  y₂=e⁻³ˣ

y=C₁ + C₂e⁻³ˣ

y(0)=C₁ + C₂=1

y'(0)=-3C₂=2,  C₂=-2/3,  C₁=1-C₂=1+2/3=5/3

y=⁵/₃ - ²/₃e⁻³ˣ

3) y''+2y'+5y=0

k²+2k+5=0

k²+2k+1=-4

(k+1)²=-2²

k+1=±2i

k=-1±2i

y₁=e⁻ˣcos2x,  y₂=e⁻ˣsin2x

y=C₁e⁻ˣcos2x+C₂e⁻ˣsin2x