[tex]xy'-3y = 3x^2\\[/tex]

Сначала решим однородное уравнение

[tex]xy' - 3y =0\\xdy = 3ydx\\dy/y = 3dx/x\\\ln y = 3\ln x + \tilde{C}\\y = Cx^3[/tex]

Теперь найдем решение неоднородного уравнения методом вариации постоянной

[tex]y(x) = C(x)x^3\\y'(x) = 3C(x)x^2+C'(x)x^3\\xy' = 3C(x)x^3+C'(x)x^4 =3y + C'(x)x^4\\xy'-3y = C'(x)x^4 = 3x^2\\C'(x) = 3/x^2\\C(x) = -3/x + C_1[/tex]
Итого общее решение неоднородного уравнения
[tex]y(x) = C_1x^3 - 3x^2[/tex]
Постоянную C1 найдем из условия y(1) = C1 - 3 = 0 то есть C1=3

Окончательно

[tex]y = 3x^3-3x^2[/tex]