Verified answer

1. уравнение с разделяющимися переменными.

dy=-y(tgx)dx

dy/y=-(tgx)dx, подведем под знак дифференциала косинус икс.

∫dy/y=-∫(tgx)dx

∫dy/y=∫d(cosx)/cosx

㏑IyII=㏑IcosxI+㏑Ic⇒у=с*(cosx); подставим начальные данные для определения с, получим 1=с*(cos0); ⇒1=с*1, с=1 и окончательно

у=cosx

2. составим характеристическое уравнение для ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, получим к²-2к+5=0; к=1±√(-4)=1±2i; -пара комплексных сопряженных корней, поэтому

общее решение у=еˣ*(A*cos2x+B*sin2x)

Ответ:

[tex]1)\ \ dy+y\, tgx\, dx=0\ \ ,\ \ y(0)=1[/tex]

Дифференц. уравнение 1 порядка с разделяющимися переменными .

[tex]dy=-y\, tgx\, dx\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \dfrac{dy}{y}=-tgx\, dx\ \ ,\ \ \ \displaystyle \int \dfrac{dy}{y}=\int \frac{-sinx}{cosx}\, dx\ ,\\\\\\\int \dfrac{dy}{y}=\int \frac{d(cosx)}{cosx}\, dx\\\\\\\\ln|y|=ln|cosx|+lnC\\\\\boxed{\ y=C\, cosx\ }[/tex]

Найдём константу С из начальных условий.

[tex]y(0)=1:\ 1=C\cdot cos0\ \ ,\ \ 1=C\cdot 1\ \ ,\ \ C=1[/tex]

Частное решение   [tex]\boxed{\ y=cosx\ }[/tex]  .

[tex]2)\ \ y''-2y'+5y=0[/tex]

Это ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами .. Составим характеристическое уравнение .

[tex]\lambda ^2-2\lambda +5=0\ ,\ \ D=b^2-4ac=4-20=-16\ ,\\\\\lambda _{1,2}=\dfrac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=1\pm 2i[/tex]

По виду корней характеристического уравнения запишем общее решение ЛОДУ 2 порядка .

   [tex]\boxed{\ y=e^{x}\, (C_1\, cos2x+C_2sin2x)\ }[/tex]