Verified answer

Ответ:

[tex]1)\ \ (1+x^2)\, y'+1+y^2=0\ \ \ \to \ \ \ y'=-\dfrac{1+y^2}{1+x^2}[/tex]

Диффер. ур-е с разделяющимися переменными .

[tex]\displaystyle \dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{1+y^2}{1+x^2}\ \ ,\ \ \ \ \int \frac{dy}{1+y^2}=-\int \frac{dx}{1+x^2} \ \ ,\\\\\\\underline{\ arctg\, y=-arctg\, x+C\ }[/tex]

[tex]2)\ \ y''-6y'+9y=0\ \ ,\ \ y(0)=2\ ,\ \ y'(0)=7[/tex]     ЛОДУ 2 пор.

Характеристическое уравнение  [tex]\lambda ^2-6\lambda +9=0\ \ ,\ \ (\lambda -3)^2=0\ \ ,\ \ \lambda =3[/tex]

По виду корней характ. ур-я запишем вид общего решения ЛОДУ 2 порядка с постоянными коэффициентами .

[tex]y=e^{3x}\, (C_1+C_2x)[/tex]

Найдём частное решение . Используем начальные условия.

[tex]y(0)=e^0\, (C_1+C_2\cdot 0)=C_1\ ,\ \ C_1=2\ \ ,\\\\y'(x)=3e^{3x}\, (C_1+C_2x)+e^{3x}\cdot C_2\ ,\ \ y'(x)=3e^{3x}\, (2+C_2x)+C_2\, e^{3x}\\\\y'(0)=3e^0\, (2+C_2\cdot 0)+C_2\cdot e^0=7\ \ ,\ \ 3\cdot 2+C_2=7\ ,\ \ C_2=1[/tex]

Частное решение:  [tex]\underline {\ y_{ch.resh.}=e^{3x}\, (2+x)\ }[/tex]  .

Отвечаю по Вашей просьбе

1. по условию дано уравнение с разделяющимися переменными

у'=dy/dx

разделим переменные, получим табличные интегралы.

-∫dx/(1+x²)=∫dy/(1+y²)

-arctgx+с=arctgy;

arctgx+arctgy=с- общий интеграл.

2. найдем корни характеристического уравнения

к²-6к+9=0; (к-3)²=0;  к₁,₂=3 - двукратный действительный корень, поэтому общее решение однородного уравнения ищем в виде

у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ

чтобы найти  коэффициенты с₁; с₂ найдем еще производную общего решения и подставим в функцию и ее производную начальные данные, получим

у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ

y'=3c₁e³ˣ+c₂e³ˣ+3xc₂e³ˣ

e⁰=1

_____________________

у(0)=c₁е⁰+0*с₂е⁰=2⇒c₁=2

y'(0)=3c₁e⁰+c₂e⁰+3*0e⁰=7⇒c₂=7-3*2=1

подставим в общее решение у=c₁е³ˣ+х*с₂е³ˣ  найденные значения с₁ и с₂, получим частное решение данного уравнения

уч=2е³ˣ+х*е³ˣ