Verified answer

Ответ:

4) Ответ: 15.

5)  Ответ: [tex]\displaystyle arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z;\;\;\;x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z[/tex]

6) Ответ: [tex]\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z ;\;\;\;\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z[/tex]

Объяснение:

Решить уравнения:

[tex]\displaystyle 4)\;\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}-6=0[/tex]

[tex]\displaystyle 5)\;3\;cos^2x+7\;sin\;x-5=0[/tex]

[tex]\displaystyle 6)\;cos\;2x-5\;cos\;x-2=0[/tex]

[tex]\displaystyle 4)\;\sqrt{x+1}+\sqrt[4]{x+1}-6=0[/tex]

У нас корни четной степени.

• Подкоренное выражение неотрицательно.

ОДЗ: х + 1 ≥ 0   ⇒   х ≥ -1

Выполним замену переменной:

[tex]\displaystyle \sqrt[4]{x+1}=t,\;\;\;t\geq 0[/tex]

Получим квадратное уравнение:

[tex]\displaystyle t^2+t-6=0\\\\[/tex]

По теореме Виета:

[tex]\displaystyle t_1=-3;\;t_2=2[/tex]

Так как t ≥ 0, то t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle \sqrt[4]{x+1}=2[/tex]

Возведем обе части уравнения в 4-ю степень:

[tex]\displaystyle x+1=16\\\\x=15[/tex]

Проверим:

[tex]\displaystyle \sqrt{15+1} +\sqrt[4]{15+1}-6=0\\ \\4+2-6=0[/tex]

Верно!

Ответ: 15.

[tex]\displaystyle 5)\;3\;cos^2x+7\;sin\;x-5=0[/tex]

• Основное тригонометрическое тождество:
• sin²x + cos²x = 1

⇒ cos²x = 1 - sin²x

[tex]\displaystyle \;3(1-sin^2x)+7\;sin\;x-5=0\\\\3-3\;sin^2x+7\;sin\;x - 5=0\;\;\;\;\;|\cdot(-1)\\\\3\;sin^2x-7\;sin\;x+2=0[/tex]

Выполним замену:

sin x = t

[tex]\displaystyle 3t^2-7t+2=0\\\\D=49-24=25\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\sqrt{D}=5\\ \\t_1=\frac{7+5}{6}=2;\;\;\;\;\;t_2=\frac{7-5}{6}=\frac{1}{3}[/tex]

Так как |sin x| ≤ 1, то t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle sin\;x=\frac{1}{3}\\ \\x=arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z\\\\x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z[/tex]

Ответ: [tex]\displaystyle arcsin\frac{1}{3} +2\pi k,\;k\in Z;\;\;\;x=\pi -arcsin\frac{1}{3}+ 2\pi k,\;k\in Z[/tex]

[tex]\displaystyle 6)\;cos\;2x-5\;cos\;x-2=0[/tex]

• Косинус двойного угла:
• cos 2x = 2cos²x - 1

[tex]\displaystyle 2\;cos^2x-1-5\;cos\;x-2=0\\\\2\;cos^2x-5\;cos\;x-3=0[/tex]

Замена переменной:

[tex]\displaystyle cos\;x=t,\;|t|\leq 1[/tex]

Получим квадратное уравнение:

[tex]\displaystyle 2t^2-5t-3=0\\\\D=25+24=49\;\;\;\Rightarrow \;\;\;\sqrt{D}=7\\ \\t_1=\frac{5+7}{4}=3;\;\;\;\;\;t_2=\frac{5-7}{4} =-\frac{1}{2}[/tex]

t₁ - посторонний корень.

Выполним обратную замену:

[tex]\displaystyle cos\;x=-\frac{1}{2}\\ \\x=\frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z \\\\x=\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z[/tex]

Ответ: [tex]\displaystyle \frac{2\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z ;\;\;\;\frac{4\pi }{3}+2\pi k,\;k\in Z[/tex]