Verified answer

Ответ:

1) Функция возрастает на промежутке [-1/3; 1/4]

Функция убывает на промежутках (-∞; -1/3]; [1/4; +∞)

x min = -1/3;     x max = 1/4.

2) Функция возрастает (-∞; +∞)

Точек экстремумов нет.

3) Функция возрастает на промежутках (-∞; -4]; [4; +∞)

Функция убывает на промежутках [-4; 0); (0; 4]

x max = -4;     x min = 4

Объяснение:

Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции.

1. Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.
2. Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках.
3. Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.
4. Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

[tex]\displaystyle \bf 1)\; f(x)=-8x^3-x^2+2x[/tex]

[tex]\displaystyle f'(x)=-8\cdot 3x^3-2x+2\\\\-24x^2-2x+2=0\;\;\;|:2\\\\-(12x^2+x-1)=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{1+48} =7\\\\x_1=\frac{-1+7}{24} =\frac{1}{4};\;\;\;\;\;x_2=\frac{-1-7}{24} =-\frac{1}{3}[/tex]

[tex]---[-\frac{1}{3} ]+++[\frac{1}{4} ]---\\_ \;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \;\;\;\;min\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;max[/tex]

Функция возрастает на промежутке [-1/3; 1/4]

Функция убывает на промежутках (-∞; -1/3]; [1/4; +∞)

x min = -1/3;     x max = 1/4.

[tex]\displaystyle \bf 2)\;f(x)=x^3+2x-10[/tex]

[tex]\displaystyle f'(x)=3x^2+2[/tex]

Здесь f'(x) > 0 при любом значении х   ⇒   функция возрастает на всей числовой оси.

Функция возрастает (-∞; +∞)

Точек экстремумов нет.

[tex]\displaystyle \bf 3)\;f(x)=\frac{x}{4}+\frac{4}{x}[/tex]

[tex]\displaystyle f'(x)=\frac{1}{4}-\frac{4}{x^2}=\frac{x^2-16}{4x^2} \\ \\x_1=-4;\;\;\;\;\;x_2=4[/tex]

Не забываем про х ≠ 0

[tex]+++[-4]---(0)---[4]+++\\_\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;max\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;min[/tex]

Функция возрастает на промежутках (-∞; -4]; [4; +∞)

Функция убывает на промежутках [-4; 0); (0; 4]

x max = -4;     x min = 4