Verified answer

Ответ:

При вычислении определённого интеграла применяем формулу Ньютона-Лейбница .

[tex]\displaystyle \bf 1)\ \ \int\limits^1_{-1}\, (x+1)^3\, dx=\frac{(x+1)^4}{4}\, \Big|_{-1}^1=\frac{(1+1)^4}{4}-\frac{(-1+1)^4}{4}=\frac{2^4}{4}-0=4\\\\\\\int\limits^{2\pi }_{\pi }\, sin\frac{x}{2}\, dx=-2\, cos\frac{x}{2}\, \Big|_{\pi }^{2\pi }=-2\, cos\pi +2\, cos\frac{\pi }{2}=-2\cdot (-1)+2\cdot 0=2[/tex]  

2) Найти площадь фигуры, ограниченной линиями  

[tex]\bf y=cosx\ \ ,\ \ y=-3cosx\ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ x=\dfrac{\pi }{6}[/tex]   .

Площадь области равна

[tex]\displaystyle \bf S=\int\limits^{\pi /6}_{0}\, (\, cosx-(-3cosx)\, )\, dx=\int\limits^{\pi /6}_{0}\, 4\, cosx\, dx=4\, sinx\, \Big|_0^{\pi /6}=\\\\\\=4\cdot \Big(sin\frac{\pi }{6}-sin\, 0\Big)=4\cdot \Big(\frac{1}{2}-0\Big)=2[/tex]  

На рисунке область заштрихована .