Verified answer

Ответ:

1)  Правильно найдено значение определённого интеграла в 3 пункте:

[tex]\bf \displaystyle \int\limits_0^3\, x^2\, dx=\frac{x^3}{3}\, \Big|_0^3=\frac{3^3}{3}-\frac{0^3}{3}=9-0=9[/tex]  

Остальные интегралы должны были иметь такой вид :

[tex]\bf \displaystyle \int\limits_0^2\, x\, dx=\frac{x^2}{2}\, \Big|_0^2=\frac{2^2}{2}-\frac{0^2}{2}=2-0=2\\\\\\\int\limits_{-1}^1\, 3\, dx=3x\, \Big|_{-1}^1=3\cdot 1-3\cdot (-1)=3+3=6[/tex]    

2) Площадь заштрихованной области находим как разность площадей криволинейных трапеций .

[tex]\bf \displaystyle S=\int\limits^0_{-1}\, (2-x)\, dx-\int\limits_{-1}^0(x^2+2)\, dx=\int\limits^0_{-1}\, (\, (2-x)-(x^2+2)\, )\, dx=\\\\\\=\int\limits^0_{-1}\, (-x-x^2)\, dx=\Big(-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\, \Big)\Big|_{-1}^0=\Big(-\frac{0^2}{2}-\frac{0^3}{3}\Big)-\Big(-\frac{(-1)^2}{2}-\frac{(-1)^3}{3}\Big)=\\\\\\=0-\Big(-\frac{1}{2}-\frac{-1}{3}\Big)=\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}[/tex]