1.  cпособ

найдем косинус угла А, он равен √(1-sin²∠A)=

√(1-(49/625))=√(576/625)=24/25, зная косинус этого угла, найдем прилежащую к нему сторону через гипотенузу, это сторона АЕ, она равна 50*cos∠А=50*24/25=48; найдем площадь треугольника по формуле (АС*АЕ*sin∠А)/2=(50*48*(7/25))/2=672/2=336

2 способ

Да. эта формула имеет место быть, поскольку  2sinα*cosα=sin2α,

по приведенной вами формуле (1/4)*50²*sin2α=625*2sinα*cosα=

625*2*(7/25)*(24/25)=2*7*24=336

 3 способ.

АЕ=48 и СЕ=50*sin∠A=

50*(7/25)=14; А ДАЛЬШЕ перемножим катеты и разделим на 2, получим 14*48/2=336

Объяснение:

Давай, я поясню, что это за формула такая?

Откуда она взялась, посчитаем.

И заодно поймем, есть ли в ней ошибки?

Честно - никогда ее до этого не встречал, но, кажется, вижу, как она выводилась.

Для удобства возьмем классические обозначения:

∆АВС, Будем называть стороны той (маленькой) буквой, которая у вершины напротив; а углы - соответствующей грнческой буквой.

Приступим.

Дан ∆АВС, уг. при вершине С [tex]\gamma[/tex] = 90°

Соответственно сторона напротив угла [tex]\gamma[/tex] - гипотенуза с.

стороны напротив углов [tex]\,\alpha\,[/tex] и [tex]\:\beta\:[/tex] - катеты a и b соответственно.

Дано:

[tex] {\triangle}АВС;\; {\gamma}=90 \degree;\; c = 50;\; \sin{ \alpha} = \dfrac{7}{25} [/tex]

Найти площадь.

[tex]S_{{\triangle}АВС}=?[/tex]

Решение.

Прямоугольный треугольник - это "половинка" прямоугольника, у которого стороны соответственно равны катетам нашего треугольника.

Поэтому площадь треугольника можно вычислить через катеты:

[tex]S_{{\triangle}АВС}= \dfrac{1}{2} a \cdot{b}[/tex]

Но нам дана гипотенуза и синус острого угла. Т.к. угол острый, то его и синус и косинус положительные.

Как известно,

• синус угла - это отношение противолежащего катета к гипотенузе; через синус можно выразить противолежащий катет

[tex] \sin \alpha = \frac{a}{c} \: = > \: \boxed{ \: a = c \cdot\sin \alpha \: }\\ [/tex]

[tex]S_{{\triangle}АВС}= \dfrac{1}{2} \cdot{a} \cdot{b} = \dfrac{1}{2} \cdot{a} \cdot{b} = [/tex]

• косинус угла - это отношение прилежащего катета к гипотенузе; через косинус можно выразить прилежащий катет

[tex] \cos \alpha = \frac{b}{c} \: \: = > \: \boxed{\: b = c \cdot\cos \alpha \: }\\ [/tex]

Вспомним про нашу формулу площади.

Заменим a, b на их выражение через гипотенузу и синус/косинус, и сгруппируем:

[tex]\small \: S_{{\triangle}АВС}= \dfrac{1}{2} a \cdot{b} = \frac{1}{2}{ \cdot} ({c} {\cdot }\sin \alpha){\cdot} ({c} {\cdot} \cos \alpha) = \\ \small= \frac{1}{2}{ \cdot}c { \cdot}c{ \cdot} \sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha = \frac{1}{2}\cdot{c}^{2} { \cdot} \sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha =... \\ [/tex]

А теперь дальнейшее преобразование.

С использованием формулы синуса двойного угла:

[tex] \sin2 \alpha = 2 \sin \alpha \cdot \cos \alpha [/tex]

[tex]\small=\frac{1}{2}\cdot{c}^{2} \cdot\frac{1}{2} { \cdot} 2 { \cdot}\sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha = \\\small=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\cdot{c}^{2} { \cdot} (2 { \cdot}\sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha) = \\ \small=\frac{1}{4}\cdot{c}^{2} { \cdot} (2 { \cdot}\sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha) = \\\small=\frac{1}{4}\cdot{c}^{2} { \cdot} (2 { \cdot}\sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha) \small= \frac{1}{4} \cdot {c}^{2}\cdot \sin 2\alpha\\ [/tex]

Как видишь, формула верная.

Но нам нужна не она. Вернемся к вот этому моменту:

[tex]\: S_{{\triangle}АВС}=\frac{1}{2}\cdot{c}^{2} { \cdot} \sin \alpha{ \cdot} \cos \alpha = ... \\ [/tex]

Применим основное тригонометрическое тождество:

[tex] \small { \sin }^{2} \alpha + { \cos}^{2} \alpha = 1 \: < = > \: { \cos}^{2} \alpha = 1 - { \sin }^{2} \alpha \\ [/tex]

Т.к. угол острый, то его и синус и косинус положительные. Следовательно

[tex] \cos \alpha = \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha \: \: } [/tex]

Подставляем:

[tex]\small S_{{\triangle}АВС}=...=\frac{1}{2}\cdot{c}^{2} { \cdot} \sin \alpha\cdot \sqrt{1 - { \sin }^{2} \alpha \: } = ... \\ [/tex]

Ее лучше и использовать:

Находим значение:

[tex]c = 50;\; \sin{ \alpha} = \dfrac{7}{25}[/tex]

[tex]\small S_{{\triangle}АВС}=...=\frac{1}{2}\cdot{50}^{2} { \cdot} \dfrac{7}{25}\cdot \sqrt{1 - {\bigg( \dfrac{7}{25} \bigg)}^{2} \: } \\ \dfrac{50\cdot50\cdot7}{2\cdot25}\cdot \sqrt{1 - \frac{49}{625} \: } = \\ = \dfrac{ \cancel{50}\cdot50\cdot7}{\cancel{50}}\cdot \sqrt{ \dfrac{576}{625} \: } = 50\cdot7\cdot \frac{ \sqrt{ {24}^{2} } }{\sqrt{ {25}^{2}}} = \\ \small = \frac{50{\cdot}7{\cdot}24}{25} = \frac{\cancel{25}{\cdot2}{\cdot7}{\cdot24}}{ \cancel{25}} = 2\cdot7\cdot24=336 \\ \boxed{ \: S_{{\triangle}АВС}=336 \: \: } { \: }^{ \: } [/tex]