Verified answer

Ответ:

36396.

Объяснение:

9³=729, 99³=970299, 999³=997002999, 9999³=999700029999.

Гипотеза:

                [tex]{\underbrace{999\ldots 99}_{n}}^3={\underbrace{999\ldots 99}_{n-1}}\ 7\ {\underbrace{000\ldots 00}_{n-1}}\ 2\ {\underbrace{999\ldots 99}_{n} .[/tex]

Для доказательства этой гипотезы воспользуемся формулой

                               [tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3,[/tex]

которая в частном случае имеет вид

                                 [tex](a-1)^3=a^3-3a^2+3a-1.[/tex]

Поэтому

   [tex]{\underbrace{999\ldots 99}_{n}}^3=(1{\underbrace{000\ldots 00}_{n}}-1)^3=(10^n-1)^3=10^{3n}-3\cdot 10^{2n}+3\cdot 10^n-1=[/tex]

                         [tex]={\underbrace{999\ldots 99}_{n-1}\ 7\ {\underbrace{000\ldots 00}_{2n} + 2\ {\underbrace{999\ldots 99}_{n}.[/tex]

Тем самым гипотеза подтвердилась. Осталось найти сумму цифр:

                                        9(n-1)+7+2+9n=18n.

При n=2022 сумма цифр равна 18·2022=36396.