3 различных числа, из которых состоят первые 3 члена геометрического ряда, равны первому, второму и четвертому члену числового ряда.Найти отношение суммы первых 31 членов числового ряда к сумме первых 5 членов геометрического ряда.
More Questions From This User See All
Answers & Comments
хороший ответ? да?(ㆁωㆁ)
Второй член геометрического ряда равен a*q
Третий член геометрического ряда равен a*q^2
Четвертый член числового ряда равен a + aq + aq^2
Пятый член геометрического ряда равен a*q^3
Мы знаем, что первый член числового ряда равен a, второй член числового ряда равен aq, а третий член числового ряда равен aq^2.
Тогда, чтобы найти четвертый член числового ряда, мы можем сложить первые три члена числового ряда:
a + aq + aq^2
Это равно a*(1 + q + q^2), поэтому мы можем записать:
a*(1 + q + q^2) = a + aq + aq^2
Разделим обе части на a:
1 + q + q^2 = 1/q + 1 + q
Раскроем скобки и упростим:
q^3 - 1 = 0
(q - 1)*(q^2 + q + 1) = 0
q = 1 или q = (-1 ± sqrt(3)*i)/2
Поскольку q не может быть равен 1 (иначе все члены геометрического ряда будут равны a), мы выбираем q = (-1 + sqrt(3)*i)/2.
Теперь мы можем вычислить сумму первых 5 членов геометрического ряда:
a + a*(-1 + sqrt(3)i)/2 + a(-1 + sqrt(3)i)^2/4 + a(-1 + sqrt(3)i)^3/8 + a(-1 + sqrt(3)*i)^4/16
Это можно упростить, используя формулу для суммы геометрической прогрессии:
a*(1 - q^5)/(1 - q) = a*(1 - (-1 + sqrt(3)*i)^5/(-1 + sqrt(3)*i))/((1 + sqrt(3)i)/2) = 31a - 15asqrt(3)*i
Теперь мы можем вычислить сумму первых 31 члена числового ряда:
a*(1 - q^31)/(1 - q) = a*(1 - (-1 + sqrt(3)*i)^31/(-1 + sqrt(3)*i))/((1 + sqrt(3)*i)/2)
Для удобства, выразим a через первый член числового ряда:
a = первый член числового ряда
Тогда:
a*(1 - q^31)/(1 - q) = a*(1 - (-1 + sqrt(3)*i)^31/(-1 + sqrt(3)*i))/((1 + sqrt(3)*i)/2)
Это можно упростить, используя формулу для суммы геометрической прогрессии:
a*(1 - q^31)/(1 - q) = (a + aq + aq^2 + ... + a*q^30)
Выражение a + aq + aq^2 + ... + a*q^30 представляет собой сумму первых 31 члена геометрической прогрессии с первым членом a и знаменателем q. Это равно:
a*(1 - q^31)/(1 - q) = a*(1 - q^31)/(1 - q) * (q - q)/(q - q) + a*(1 - q)/(1 - q)
a*(1 - q^31)/(1 - q) = a*(1 - q)/(1 - q) + a*(1 - q)/(1 - q) + ... + a*(1 - q)/(1 - q) (31 слагаемое)
a*(1 - q^31)/(1 - q) = 31a*(1 - q)
Теперь мы можем вычислить отношение суммы первых 31 члена числового ряда к сумме первых 5 членов геометрического ряда:
(1 + 2a + 3aq + ... + 31aq^30)/(a + aq + aq^2 + aq^3 + aq^4) = (1 + 2q + 3q^2 + ... + 31q^30)/(1 + q + q^2 + q^3 + q^4)
Подставим q = (-1 + sqrt(3)*i)/2:
(1 + 2a - 3sqrt(3)ia + ... - 31a)/(a - a/2 + a/4 - a/8 + a/16) = (1 - q^5)/(1 - q)
Упрощаем числитель и знаменатель:
Числитель: 1 + 2a - 3sqrt(3)ia + ... - 31a = -465a
Знаменатель: a/16*(31*2 - 1) = 31a/2
Подставляем значения:
Отношение суммы первых 31 члена числового ряда к сумме первых 5 членов геометрического ряда равно:
(-465a)/(31a/2) = -30
Ответ: отношение суммы первых 31 членов числового ряда к сумме первых 5 членов геометрического ряда равно -30.