[tex]\cos(2\pi\cos x)=1[/tex]

Вспоминаем частный случай решения уравнения:

[tex]\cos\alpha =1\Rightarrow \alpha =2\pi m,\ m\in\mathbb{Z}[/tex]

Получим:

[tex]2\pi\cos x=2\pi k,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Сокращаем обе части на [tex]2\pi[/tex]:

[tex]\cos x=k,\ k\in\mathbb{Z}[/tex]

Получаем, что косинус равен некоторому целому числу. Учитывая, что косинус принимает свои значения из отрезка от -1 до 1, можно понять, что число [tex]k[/tex] может принимать три значения:

[tex]k_1=-1;\ k_2=0;\ k_3=1[/tex]

Решаем три получившихся уравнения:

[tex]\cos x_1=-1\Rightarrow x_1=\pi+2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\cos x_2=0\Rightarrow x_2=\dfrac{\pi}{2} +\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

[tex]\cos x_3=1\Rightarrow x_3=2\pi n,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Заметим, что три получившиеся серии корней можно объединить в одну:

[tex]x=\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]

Ответ: [tex]\dfrac{\pi n}{2} ,\ n\in\mathbb{Z}[/tex]