Verified answer

Ответ:

[tex]\dfrac{3}{2}.[/tex]

Пошаговое объяснение:

Разберемся с левой частью:

                             [tex]12x-4x^2-7=-(2x-3)^2+2[/tex]   [tex]\Rightarrow[/tex]

левая часть не больше 2 и достигает этого значения при [tex]x=\frac{3}{2}.[/tex]

Для оценки правой части можно воспользоваться неравенством Коши между средним арифметическим и средним геометрическим двух положительных чисел:

                            [tex]\dfrac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab};\ \ \ \ \ \dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab}\Leftrightarrow a=b.[/tex]  

В нашем случае

                              [tex]\sqrt{\frac{2x}{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}}\ge 2\sqrt{\sqrt{\frac{2x}{3}}\cdot\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}}}=2,[/tex]

причем равенство достигается когда

        [tex]\sqrt{\frac{2x}{3}}=\dfrac{1}{\sqrt{\frac{2x}{3}}};\ \ \dfrac{2x}{3}=1;\ x=\dfrac{3}{2}.[/tex]

Поэтому левая часть равна правой части только при [tex]x=\dfrac{3}{2}.[/tex]