Дано: ∆ABC

∠C = 90°; P є AB, CP ∩ AB = P; ∠ACP = ∠PCB

∠B = ∠A + 60°

Знайти: ∠CPA

Розв'язання: У ∆ABC

Позначимо ∠A за (x)°, тоді за умовою задачі ∠B = (x+60)°.

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠A + ∠B + ∠C = 180°

x + (x+60) + 90 = 180

2x+150 = 180

2x = 30

x = 15

Отже, ∠A = 15°,а ∠B = (15+60)° = 75°

Оскільки CP бісектриса ∠C, то ∠ACP = ∠BCP, а

∠C = 2∠ACP

90° = 2∠ACP

∠ACP = ∠BCP = 45°

З ∆ACP(∠ACP = 45°; ∠A = 15°)

За теоремою про суму кутів трикутника:

∠PAC + ∠PCA + ∠CPA = 180°

15°+45°+∠CPA = 180°

∠CPA = 180°-60° = 120°

Відповідь: 120°