Verified answer

Ответ:

[tex]1)\ \ sin2x+5\, (sinx+cosx)=0\\\\2\, sinx\cdot cosx+5\, (sinx+cosx)=0[/tex]

Решаем с помощью замены:   [tex]t=sinx+cosx[/tex]  .

[tex]t^2=sin^2x+2\, sinx\cdot cosx+cos^2x=1+2\, sinx\cdot cosx\ \ \Rightarrow \\\\2\, sinx\cdot cosx=t^2-1[/tex]

Теперь подставим в уравнение:   [tex]t^2-1+5t=0\ \ ,\ \ t^2+5t-1=0[/tex]  .

Решаем квадратное уравнение .  [tex]D=5^2-4\cdot (-1)=29\ \ ,[/tex]

[tex]t_1=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2}\approx -5,19\ \ ,\ \ \ t_2=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2}\approx 0,19[/tex]

[tex]a)\ \ sinx+cosx=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2}\\\\sinx+sin(\dfrac{\pi }{2}-x)=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2}\ \ ,\ \ \ 2sin\dfrac{\pi}{4}\cdot cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2}\\\\\sqrt2\cdot cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2}\ \ ,\ \ \ cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-5-\sqrt{29}}{2\sqrt2}\approx -3,71 < -1[/tex]

Так как   [tex]-1\leq cos(x-\dfrac{\pi}{4})\leq 1[/tex]  ,  то функция косинус не может принимать значение, меньшее  -1, поэтому уравнение не имеет решений.

[tex]b)\ \ sinx+cosx=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2}\\\\\sqrt2\cdot cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2}\ \ ,\ \ \ cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2\sqrt2}\approx 0,14\\\\x-\dfrac{\pi}{4}=\pm arccos\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2\sqrt2}+2\pi n\ ,\ \ n\in Z\\\\x=\dfrac{\pi}{4}\pm arccos\dfrac{-5+\sqrt{29}}{2\sqrt2}+2\pi n\ ,\ \ n\in Z\ \ -\ Otvet[/tex]

[tex]2)\ \ sinx+cosx=1+sinx\cdot cosx[/tex]

Способ решения такой же.

Замена:  [tex]t=sinx+cosx\ ,\ \ 2sinx\cdot cosx=t^2-1\ \ ,\ \ sinx\cdot cosx=\dfrac{t^2-1}{2}\ .[/tex]

[tex]t=1+\dfrac{t^2-1}{2}\ \ ,\ \ 2t=2+t^2-1\ \ ,\ \ t^2-2t+1=0\ ,\ \ (t-1)^2=0\ \to \ t=1\\\\sinx+cosx=1\ \ \to \ \ \ \sqrt2\cdot cos(x-\dfrac{\pi}{4})=1\ \ ,\ \ cos(x-\dfrac{\pi}{4})=\dfrac{1}{\sqrt2}\ ,\\\\\\x-\dfrac{\pi}{4}=\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi n \ \ ,\ \ \ x=\dfrac{\pi}{4}\pm \dfrac{\pi}{4}+2\pi n\ ,\ n\in Z\ \ -\ Otvet[/tex]